Para presentar esta asignatura, el equipo docente ha recopilado toda la información de carácter general, es decir, las principales características y requisitos, en la siguiente ficha:

FICHA DE LA ASIGNATURA

La de "Integral de Lebesgue” es una asignatura que en el plan de estudios de la titulación, Grado en Matemáticas, figura en el primer semestre del cuarto curso. Tiene carácter optativo y se le asignan 5 créditos.

La integral de una función f entre los límites de integración a y b puede interpretarse como el área bajo la gráfica de f. Esto es fácil de entender para funciones que nos son familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica, pero... ¿qué quiere decir para funciones un poco más exóticas o con comportamiento errático? En general, ¿cuál es la clase de funciones para las cuales el concepto de "área bajo la curva" tiene sentido? La respuesta a esta interrogante tiene importancia teórica y práctica fundamental, y ha ido evolucionando con distintas aproximaciones y generalizaciones a lo largo de la Historia, lo cual en muy conveniente conocer.

Como parte del n avance de las matemáticas en el siglo XIX, se hicieron varios intentos de poner sobre bases sólidas el cálculo integral. La integral de Riemann propuesta por Bernhard Riemann (1826-1866), sentó la primera base sólida sobre la cual se desarrolló la integral. La definición de Riemann empieza con la construcción de una sucesión de áreas rectangulares fácilmente calculables cuya suma converge a la integral de una función dada. Esta definición es buena en el sentido que provee las repuestas adecuadas y esperadas para muchos problemas ya resueltos, así como importantes y útiles resultados para muchos otros problemas; algunos de ellos, de las ciencias más recientes, como es el caso de la Inteligencia Artificial.

Sin embargo, la integración de Riemann no llega a resolver ciertos casos. La integración de una función no negativa (por considerar sólo el caso más simple) puede considerarse como el área entre la gráfica de una curva y el eje de abcisas. La Integral de Lebesgue, propuesta por Henri Lebesgue (1875-1941), extiende el concepto de integración a una clase mucho más amplia de funciones, así como a los posibles dominios en los cuales estas integrales pueden definirse. Hacía mucho que se sabía que para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como una función continua en intervalos cerrados) el área bajo la curva podía definirse como alguna integral y calcularse usando técnicas de aproximación de la región mediante rectángulos o polígonos. Pero como se necesitaba considerar funciones más irregulares, se hizo evidente que una aproximación más cuidadosa sería necesaria para definir una integral que se ajustara a dichos problemas.

La integración de Riemann tampoco funciona bien al tomar límites de sucesiones de funciones, dificultando su análisis. Esto es algo de vital importancia, por ejemplo, en el estudio de las series de Fourier, la transformada de Fourier y otros temas. La integral de Lebesgue permite saber cómo y cuándo es posible tomar límites bajo el signo de la integral.

La definición de Lebesgue también hace posible calcular integrales para una clase más amplia de funciones. Por ejemplo, la función de Dirichlet, que es 0 cuando su argumento es irracional y 1 en otro caso (racional), tiene integral de Lebesgue, pero no de Riemann.

En este contexto, esta asignatura, optativa del cuarto curso del Grado en Matemáticas, pretende conseguir que los alumnos conozcan las propiedades básicas de la integral de Lebesgue y el papel que desempeña en el Análisis Real y en muchas otras ramas de las Matemáticas. Otras integrales han sido propuestas para resolver los problemas que aquellas no terminaban de resolver, como son las Integrales de Choquet, las de Sugeno, etc. Con este objetivo, los alumnos de esta asignatura trabajarán las siguientes competencias específicas del título:

·         RA11. Saber cómo se construye la integral de Lebesgue y las diferencias entre esta integral y la de Riemann. 

·         RA12.Conocer los teoremas de convergencia para la integral de Lebesgue.

·         CED1. Comprensión de los conceptos básicos y familiaridad con los elementos fundamentales para el estudio de las Matemáticas superiores.

·         CEA3. Habilidad para crear y desarrollar argumentos bien estructurados y coherentes, con una clara identificación de las hipótesis y de las conclusiones.

·         CEA4. Habilidad para detectar inconsistencias en los razonamientos, ya sea de forma teórica o práctica, mediante la búsqueda de contraejemplos.

·         CEA7. Habilidad para presentar el razonamiento matemático y sus conclusiones de manera clara y precisa, de forma apropiada al público al que se dirige, tanto en forma oral como escrita.

      Con esta asignatura se pretende cubrir también las siguientes competencias genéricas propuestas por la UNED, que son importantes en su formación universitaria y elemento clave en el EEES:

·         CG4 Análisis y Síntesis.

·         CG6 Razonamiento crítico.

·         CG8 Seguimiento, monitorización y evaluación del trabajo propio y de otros.

·         CG10 Comunicación y expresión escrita.

·         CG12 Comunicación y expresión en otras lenguas (especialmente, en inglés).

·         CG13 Comunicación y expresión matemática, científica y tecnológica.