La asignatura de Funciones reales de una variable II continúa con el estudio de las funciones con valores reales de variable real . El estudiante ha visto muchos de los contenidos que en la asignatura se exponen, bien en el Bachillerato bien el el Curso de Acceso a la Universidad, y por tanto no tienen que resultarle extraños gran parte de los teoremas expuestos. Hay otra parte absolutamente nueva que no debería de resultarle difícil una vez que haya cogido ritmo de estudio y asentado los conocimientos que ya traía y que sin lugar a duda deberá de ir profundizando conforme vaya avanzando en el estudio.

Parte de la presentación de una asignatura es ver desde el punto de vista histórico cómo han ido evolucionando sus contenidos y cómo se originaron.

Ya en la Grecia Antigua se establecieron métodos infinitesimales como formas de razonamiento partiendo de ideas atomicistas (Demócrito) para resolver áreas y volúmenes de ciertos conjuntos así como aproximaciones a algunos números irracionales, como el método de exhaución de Eudoxo. Implícitamente se tenía la idea de límite, básica en el Analisis, aunque faltarían aún muchos siglos para una buena definición.

Es muy importante tener en cuenta que una formulación fuertemente sustentada no ocurriría hasta el siglo XIX, y aún que el estudio de los números reales formalmente no se realizaría hasta finales de dicho siglo. Por tanto el desarrollo historico no sigue, en absoluto, las exposiciones sistematizadas que hoy en día se presentan siendo, por ejemplo el concepto de derivada anterior al de función y éste anterior al de número real formalmente descrito.

Entre los primeros métodos infinitesimales que se utilizaron están los de Kepler (sXVII) y sus órbitas planetarias. Exigían métodos de integración, esto es, de calculo de áreas y volúmenes que tuvieron una expresión precisa en los métodos de Cavalieri (sXVII) que consistía en convertir figuras planas en colecciones de segmentos paralelos y volúmenes en trozos de planos paralelos. Y estos fueron los comienzos del cálculo integral que se verían completados con los trabajos de Cauchy y Riemann (sXIX).

Desde un punto de vista matemático Leibnitz trabaja para los siguientes problemas: Sumación de Series, problemas de obtención de tangentes, Reciprocidad entre los problemas de diferenciabilidad e integrabilidad. Introdujo "d" como símbolo de la diferencial y halló las reglas básicas de derivada de constantes, suma, producto. La notación para la derivada y la integración se debe a Leibnitz y facilitó la formalización de dichos conceptos.

La introducción de la derivada y la integral dió lugar a problemas prácticos importantes hasta el punto que en 1696 apareció el texto "Análisis Infinitesimal" de G.F. L´Hopital.

En el siglo XVIII la teoría de funciones se antepuso a los métodos infinitesimales como necesidad de fundamentación. El concepto de función entonces era entendido como correspondencia o ley que asociaba a números otros números o como expresión analítica, es decir, fórmulas que describían la función. De hecho el gran matemático Leonard Euler utilizaba la expresión en series infinitas de las funciones pensando que todas admitían este tipo de expresión. Detrás de todo subyacía la necesidad de formalizar el concepto de límite, lo que llevo a Cauchy a ocuparse del tema haciendo grandes avances en la teoría de funciones ya en las primeras décadas del siglo XIX y fundamentando todo el Análisis en los límites.

Tres obras hicieron posible la introducción del rigor y la sistematización: Curso de Análisis (1821), Resumen de conferencias sobre el cálculo de infinitesimales (1823) y Conferencias sobre aplicaciones del Análisis a la Geometría (Dos tomos 1826 y 1828).En el primero se introduce el concepto de convergencia, las funciones elementales y las series infinitas, y en el segundo se fundamenta el Cálculo diferencial e integral.

El lector observará que el orden en el que va a estudiar los conceptos no es ni mucho menos el histórico sino una sistematización de lo que se ha producido a lo largo de varios siglos. Mucho de lo que hemos ido contando se desarrollará a lo largo del curso en las asignaturas relativas a la Teoría de funciones.

Al ser la segunda asignatura dentro de la materia Análisis Matemático los contenidos que en ella se imparten son básicos y por lo tanto inician al estudiante en el estudio de los tópicos básicos de la teoría de funciones y fundamentan todos los posteriores con aplicación a otras materias como la Geometría y Topología, Física, Ecuaciones diferenciales, Métodos numéricos y Estadística.

La asignatura es fundamental en el perfil profesional de un graduado en Matemáticas, pues contiene aspectos teóricos y prácticos, como el cálculo integral y las series de funciones, imprescindibles en el conocimiento para el análisis y resolución de cualquier problema teórico o práctico de muchas áreas propias del título o ajenas como la economía, física, química, ambientales, ingenierías, etc...