-Comprender y manejar las nociones de homotopía de caminos y sus propiedades.

-Comprender y manejar las nociones de grupo fundamental de un espacio topológico, de homomorfismo inducido por una aplicación continua entre espacios topológicos, de espacio simplemente conexo, así como sus primeras propiedades.

-Comprender y manejar las nociones de espacio recubridor, de aplicación recubridora, y de homeomorfismo local, así como sus primeras propiedades.

-Utilizar los espacios recubridores y aplicaciones recubridoras para determinar el grupo fundamental de la circunferencia unidad del Plano Euclídeo. Conocer y manejar las nociones de levantamiento y de correspondencia del levantamiento, y sus primeras propiedades.

-Conocer y manejar las nociones de retracto, retracción, y de campo de vectores, así como sus primeras propiedades. Conocer y manejar el Teorema de la no-retracción, y algunas de sus consecuencias, tales como el Teorema del Punto Fijo de Brouwer para el disco, entre otros.

-Conocer y manejar el Teorema Fundamental del Álgebra como una aplicación de los resultados ya vistos en esta asignatura de Ampliación de Topología.

-Conocer y manejar el Teorema de Borsuk-Ulam para la esfera bidimensional y sus consecuencias, tales como el Teorema de la Bisección.  Conocer y manejar los resultados sobre aplicaciones continuas que conservan antípodas necesarios para poder establecer el citado Teorema de Borsuk-Ulam.

-Conocer y manejar las nociones de retracto de deformación, de equivalencia de homotopía, de tipo de homotopía, y sus primeras propiedades. Entre éstas, cabe destacar la propiedad de que el grupo fundamental es un invariante del tipo de homotopía, y, en consecuencia, es un invariante topológico.

-Conocer y manejar el resultado que asegura que la esfera n-dimensional es simplemente conexa para n entero mayor o igual que 2, y conocer y manejar también los resultados previos necesarios.

-Conocer y manejar el resultado sobre el grupo fundamental de un espacio topológico producto de dos espacios, utilizarlo para estudiar el grupo fundamental del toro, y, utilizando los espacios recubridores, determinar los grupos fundamentales de algunas superficies. Deducir la existencia de al menos cuatro tipos topológicos distintos de superficies compactas y conexas.

-Conocer y manejar el Teorema de Separación de Jordan, y el Teorema de Separación General, en la esfera bidimensional, así como los lemas previos necesarios para establecer dichos teoremas.

-Conocer y manejar el Teorema de Invariancia del Dominio en el Plano Euclídeo, así como los lemas previos necesarios: Lema de la Extensión Homotópica y Lema de Borsuk.

-Leer y comprender todos los resultados relacionados con el Teorema de la Curva de Jordan en la esfera bidimensional, sin estudiar la demostración de dichos resultados. Trazar esquemas geométricos que ayuden a comprender estos resultados.

-Leer las nociones y resultados acerca de Sumas Directas de Grupos Abelianos, Productos Libres de Grupos, Grupos Libres, Conmutadores, y Generadores y Relaciones, especialmente aquellos que no lo hayan estudiado en una asignatura de Álgebra, o bien, aquellos que deseen conocer la notación y terminología que se va a seguir aquí en relación con dichas nociones. Estas nociones y resultados se utilizarán posteriormente en esta asignatura de Ampliación de Topología.

-Conocer y manejar el Teorema de Seifert-van Kampen, sus diferentes versiones y sus consecuencias.

-Conocer y manejar los espacios conocidos como unión por un punto de circunferencias. Conocer y manejar los resultados acerca del grupo fundamental de dichos espacios.

-Comprender y manejar el efecto sobre los grupos fundamentales de la operación de añadir una celda bidimensional a un espacio de Hausdorff.

-Deducir de lo anterior una nueva forma de obtener el grupo fundamental del toro, y la forma de determinar el grupo fundamental del espacio denominado sombrero de asno de un número finito de picos.

-Estudiar los grupos fundamentales de las superficies compactas y conexas. Conocer y manejar las nociones de esquema de longitud n, y de suma conexa.

-Estudiar la homología unidimensional de las superficies compactas y conexas.

-Conocer las técnicas de “cortar y pegar” para polígonos a través de sus aristas. Conocer el resultado fundamental y las operaciones elementales con esquemas.

-Conocer y manejar los esquemas de tipo toro y de tipo proyectivo. Conocer y manejar el Teorema de Clasificación de Superficies Compactas Conexas, así como los resultados previos necesarios.

-Conocer y manejar los resultados acerca de construcción de superficies compactas.

-Leer y comprender los resultados que no se conozcan acerca del espacio afín y de las coordenadas baricéntricas necesarios para entender las nociones y resultados sobre Símplices y Complejos Simpliciales Geométricos que se estudian después en esta asignatura de Ampliación de Topología.

-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Símplices Rectilíneos.

-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Complejos Simpliciales Geométricos Finitos y Aplicaciones Simpliciales entre ellos.

-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Poliedros Geométricos.

-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Complejos Simpliciales Geométricos Orientados.

-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Grupos de Cadenas Orientadas.

-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con el Homomorfismo Borde.

-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Grupos de Homología de un Complejo Simplicial Geométrico Orientado.

-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con las Componentes Conexas de un Complejo, y con los Complejos Conexos.

-Conocer y manejar la relación existente entre la Conexión de un Complejo y su Grupo de Homología de dimensión cero.

-Conocer y manejar la Fórmula de Euler-Poincaré para Complejos Simpliciales.

-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Homomorfismos de los Grupos de Homología inducidos por una Aplicación Simplicial.

-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con la Subdivisión Baricéntrica de un Complejo Simplicial.

-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Homomorfismos inducidos por las Aplicaciones Continuas entre Poliedros Geométricos.

-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Poliedros Curvilíneos Compactos.

-Conocer y manejar las nociones y resultados relativos a la Invariancia por Homeomorfismos de los Grupos de Homología de Poliedros (Compactos) así como a la Invariancia Homotópica de dichos Grupos de Homología.