Reconocer si un espacio vectorial tiene estructura de espacio de Hilbert o no. Estudiar la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la fórmula del paralelogramo.
Conocer las estructuras básicas en los espacios de Hilbert reales y complejos. Estudiar la herramienta básica: ortogonalidad.
Descomponer algunos espacios de Hilbert como suma directa de un subespacio cerrado y su ortogonal.
Encontrar mejores aproximaciones de vectores. Manejar los conceptos de proyección y sus aplicaciones.
Construir bases ortonormales en espacios de Hilbert concretos. Manejar los conceptos de desarrollo en bases ortonormales, el método de ortogonalización de Gram-Schmidt y las propiedades mas importantes de los espacios de Hilbert.
Familiarizarse con las propiedades básicas de los espacios l2 y L2.
Desarrollar funciones sencillas en serie de Fourier. Calcular la suma de series numéricas mediante series de Fourier. Conocer y ser capaz de estudiar la convergencia puntual y uniforme de algunas series de Fourier.
Verificar el teorema de representación de Riesz en casos concretos. Utilizar la dualidad en los espacios de Hilbert. Teoremas de caracterización de las formas lineales continuas en un espacio de Hilbert. Estudiar los operadores autoadjuntos y unitarios.
Conocer las propiedades básicas de la transformada de Fourier y de los operadores de convolución.
Reconocer los espacios de Hilbert con núcleo reproductor y en particular los espacios de Paley-Wiener. Aplicar el teorema de muestreo de Shannon.
