El análisis matemático es un parte de las matemáticas que trata de las nociones de función, límite, derivación e integración. En esta asignatura se van a presentar los conceptos básicos para funciones de varias variables (es una extensión de lo que se ha visto en la asignatura de Análisis I). Dichos conceptos junto con sus aplicaciones han formado la base de la matematización de los conceptos físicos; algunos, como la teoría de campos vectoriales, conformaron la física teórica de electromagnetismo en el siglo XIX.

El contenido de la asignatura es un material básico y constituye la base para poder entender las  asignaturas de Mecánica y electromagnetismo. A su vez el cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables constituyen una herramienta básica en otras asignaturas de contenido matemático  del Grado en Físicas.

Esta asignatura va a permitir al alumno adquirir las siguientes destrezas y  competencias:

A. Generales

• Destreza en el razonamiento cuantitativo, basado en los conocimientos adquiridos. Habilidad para formular problemas procedentes de un entorno profesional, en lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución. Habilidad para ayudar a profesionales no matemáticos a aplicar  esta materia.
• Destreza en el razonamiento y capacidad para utilizar sus distintos tipos, fundamentalmente por deducción, inducción y analogía. Capacidad para tratar problemas matemáticos desde diferentes planteamientos y su formulación correcta en lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución. Se incluye en esta competencia la aproximación geométrica y numérica.
• Habilidad para crear y desarrollar argumentos lógicos, con clara identificación de las hipótesis y las conclusiones. Habilidad para detectar inconsistencias de razonamiento tanto de forma teórica como  práctica mediante la búsqueda de contraejemplos.
• Habilidad para extraer información cualitativa a partir de información cuantitativa.  Habilidad para presentar el razonamiento matemático y sus conclusiones de manera clara y precisa, de forma apropiada a la audiencia a la que se dirige, tanto de  forma oral como escrita.
• Capacidad de relacionar distintas áreas de las matemáticas.  Razonamiento crítico, capacidad de evaluar trabajos propios y ajenos.

B. Específicas

•  Comprensión de los conceptos básicos y familiaridad con los elementos fundamentales del Análisis Matemático que servirá para el estudio de las restantes asignaturas del curso.
• Destreza para resolver problemas de cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables y campos vectoriales.
• Habilidades y destrezas que le permitan operar con funciones de varias variables y sus representaciones gráficas, cálculo de límites, derivadas, integrales y aproximaciones numéricas, mediante el razonamiento, el análisis y la reflexión.
• Capacidad para resolver problemas de valores extremos, cálculo de raíces de sistemas de ecuaciones no lineales y aproximación de funciones.
• Capacidad para calcular longitudes, áreas y volúmenes.
•  Destreza para  resolver problemas paramétricos y de ajuste por mínimos cuadrados.
• Habilidad para proponer y plantear problemas prácticos y teóricos mediante las técnicas del cálculo diferencial e integral de funciones escalares de varias variables y campos vectoriales.

TEMARIO DE LA ASIGNATURA

 Tema 1. Curvas

1.1 Cónicas

Parábolas. Propiedad focal de la parábola. Elipses. La propiedad focal de la elipse. Directrices de una elipse. Hiperbolas. Propiedad focal de la hiperbola. Clasificación de cónicas generales

1.2 Curvas paramétricas

Curvas planas generales y parametrizaciones. Algunas curvas planas de interés. 

1.3  Curvas paramétricas suaves y sin pendientes
Pendiente de una curva parametrica. Dibujo de curvas paramétricas.

I.4 Longitudes de arco y áreas de curvas paramátricas
Longitudes de arco y áreas de superficie. Áreas limitadas por curvas paramétricas.

I.5 Coordenadas polares y curvas polares
Algunas curvas en polares. Intersecciones de curvas en polares. Cónicas en polares.

I.6 Pendientes, áreas y longitudes de arco de curvas polares
Áreas limitadas por curvas en polares. Longitudes de arco de curvas en polares.

I.7 Funciones vectoriales de una variable
Diferenciacion de combinacion de vectores.

I.8 Algunas aplicaciones de la diferencial vectorial
Movimiento de una masa variable. Movimiento circular. Sistemas en rotación y el efecto Coriolís.

I.9 Curvas y parametrizaciones
Parametrización de la curva intersección de dos superficies. Longitud de arco. Curvas suaves por tramos. Parametrización mediante la longitud de arco.

I.10 Curvatura, torsion y sistema de referencia de Frenet.
El vector tangente unitario. Curvatura y normal unitaria.Torsion y binormal, Fórmulas de Frente-Serret.

I.11 Curvatura y torsión para parametrizaciones generales
Aceleracion tangencial y normal. Evolutas. Aplicacion al diseño de vias (o carreteras).

2. Tema II. Diferenciacion parcial

II.1 Funciones de varias variables
Representaciones gráficas

II.2 Límites y continuidad

II.3 Derivadas parciales
Planos tangentes y rectas normales. Distancia de un punto a una superficie. Un ejemplo geométrico.

II.4 Derivadas de orden superior
Las ecuaciones de Laplace y de ondas

II.5 La regla de la cadena
Funciones homogeneas. Derivadas de orden superior.

II.6 Aproximaciones lineales, diferenciabilidad y diferenciales
Demostracion de la regla de la cadena. Diferenciales. Funciones de un espacio
de n-dimensiones en un espacio de m-dimensiones.

II.7 Gradientes y derivadas direccionales
Derivadas direccionales. Tasas de cambio percibidas por un observador en
movimiento. El gradiente en tres y más dimensiones.

II.8 Funciones Implícitas
Sistemas de ecuaciones. Determinantes jacobianos. El teorema de la funcion
implícita.

II.9 Aproximaciones mediante series de Taylor
Aproximacion de funciones implícitas.

II.10 Valores Extremos
Clasificación de los puntos críticos.

II.11 Valores extremos de funciones definidas en dominios restringidos
Programacion Lineal.

II.12 Multiplicadores de Lagrange
El método de los multiplicadores de Lagrange. Problemas con mas de una restricción. Programacion no lineal.

II.13 El método de los mínimos cuadrados
Regresión lineal. Aplicaciones del método de los mínimos cuadrados a integrales.

II.14 Problemas paramétricos
Diferenciación de integrales con parámetros. Envolventes. Ecuaciones con perturbaciones.

3. Tema III.
III.1 Integrales dobles
Integrales dobles en dominios mas generales. Propiedades de la integral doble.
Resolución de integrales dobles por inspección.

III.2 Iteración de integrales dobles en coordenadas cartesianas
 

III.3 Integrales impropias y el teorema del valor medio
Integrales impropias de funciones positivas. Un teorema del valor medio para
integrales dobles.

III.4 Integrales dobles en coordenadas polares
Cambio de variables en integrales dobles.

III.5 Integrales triples

III.6 Cambios de variable en integrales triples
Coordenadas cilndricas. Coordenadas esfericas.

III.7 Aplicaciones de las integrales multiples
Área de la superficie de una gra ca. Atracción gravitatoria de un disco. Momentos y centros de masa. Momento de inercia.

III.8 Campos escalares y vectoriales
Líneas de campo (curvas integrales). Campos vectoriales en coordenadas polares.
 

III.9 Campos conservativos
Superficies y curvas equipotenciales. Fuentes sumideros y dipolos.
 

III.10 Integrales sobre curvas
Calculo de integrales sobre curvas

III.11 Integrales sobre curvas
Cálculo de integrales sobre curvas.

III.12 Integrales sobre curvas de campos vectoriales
Dominios conexos y simplemente conexos. Independencia del camino.

4. Tema IV
IV.1 Superficies e integrales de superficie
Superficies paramétricas. Superficies compuestas. Integrales de superficie. Superficies suaves, normales y elementos de área. Cálculo de integrales de superficie. Atracción de una corteza terrestre.

IV.2 Superficies orientadas e integrales de  flujo
Superficies orientadas. Flujo de un campo vectorial por una superficie.
 

IV.3 Gradiente, divergencia y rotacional
Interpretacion de la divergencia. Distribuciones y funciones delta. Interpretación del rotacional.
 

IV.4 Algunas identidades con el gradiente, la divergencia y el rotacional
Potencial escalar y potencial vector.
 

IV.5 El teorema de Green en el plano
El teorema de la divergencia en dos dimensiones.

IV.6 El teorema de la divergencia en el espacio tridimensional
Variantes del teorema de la divergencia.
 

IV.7 El teorema de Stokes

Los contenidos corresponden a la siguiente distribucion de capítulos del libro base de
la asignatura.
• El tema 1 corresponde al contenido de los capítulos 8 (completo) y 11 (secciones
11.1, 11.2, 11.3, 11.4 y 11.5)
• El tema 2 corresponde al capítulo12 (completo) y al 13 (secciones 13.1, 13.2, 13.3 y
13.5)
• El tema 3 corresponde a los capítulos 14 (completo) y 15 (hasta la seccion 15.4)
• El tema 4 corresponde al capítulos 15 (secciones 15.5 y 15.6) y al captulo 16
(secciones 16.1, 16.2, 16.3, 16.4 y 16.5)