Saber que es una curva o una superficie diferenciable.
Conocer los invariantes locales del estudio de curvas y superficies: curvatura, torsión, primera y segunda formas fundamentales, curvatura media y de Gauss.
Conocer los teoremas fundamentales y más importantes dentro de la teoría elemental de geometría diferencial de curvas y superficies.
Conocer algunos teoremas globales de geometría diferencial.
Conocer de modo básico la geometría intrínseca en una superficie, así como los objetos básicos dentro de esa geometría: métrica y geodésicas. Saber que la geometría intrínseca en una superficie puede ser muy diferente a la geometría euclidiana.
Conocer el teorema egregio de Gauss y el teorema de Gauss para triángulos geodésicos y la relación entre elementos de geometría intrínseca y curvatura.
Conocer el teorema de Gauss-Bonnet y la relación entre la curvatura y la topología.
Destrezas y habilidades:
Dotar a un objeto de una estructura de curva o superficie diferenciable y así poder aplicar los métodos del análisis para la resolución de problemas referidos a tal objeto.
Definir curvas y superficies por parametrizaciones, atlas y por ecuaciones implícitas.
Cálculo de rectas y planos tangentes y normales.
Cálculo de los invariantes de curvatura para curvas y superficies.
Distinguir gráficamente el signo de la curvatura para una curva plana y el signo de la torsión en una curva espacial.
Distinguir los puntos de una superficie que son elípticos, parabólicos e hiperbólicos.
Distinguir propiedades e invariantes globales y locales.
Medir ángulos y distancias en geometría intrínseca de una superficie.
Obtención de geodésicas en ejemplos sencillos.
Distinguir gráficamente lo que es una geodésica en una superficie.
Relacionar la topología con la curvatura total de una superficie.
Competencias:
Abre la posibilidad del estudio de la geometría diferencial más avanzada.
Aplicar a problemas reales (ingeniería, diseño, visión por ordenador, teoría de control) herramientas avanzadas de análisis matemático dotando de estructura diferencial (de curva o superficie) a los objetos a estudiar.
Abre la posibilidad de entender la física moderna: cosmología, relatividad, mecánica.
