La teoría de los espacios normados es la conjunción de métodos topológicos, geométricos y algebraicos orientados a las aplicaciones de ciertas cuestiones planteadas en el análisis de los espacios de funciones (en sentido amplio).

Durante el siglo XIX se habían ido resolviendo problemas de forma separada que surgían de las aplicaciones a la Física como las ecuaciones diferenciales, las ecuaciones integrales y un sinnúmero de operadores entre espacios de funciones. El tratamiento por separado que hasta entonces necesitaba de una unificación y la topología general del siglo XX, la teoría de la integral cada vez más abstracta proporcionó el marco adecuado para que mentes brillantes como Riesz, Lebesgue, Baire, Banach, Hahn, Steinhaus, entre otros fuesen construyendo una teoría potente que tratase de manera unificada y sistemática cuestiones hasta entonces no conexionadas.

Formalmente los espacios normados son particularizaciones de los espacios métricos y estos de los topológicos. A su vez los espacios de Hilbert son un ejemplo de los espacios normados. Ahí encajan. Claro, algunas propiedades de los espacios de Hilbert se pierden por un lado, pero también se aplican a más ejemplos con métricas no euclideas. Y los Espacios Normados, y especialmente los Espacios Normados Completos o Espacios de Banach mantienen propiedades geométricas que guían la intuición en aplicaciones muy diversas como los espacios vectoriales de funciones continuas, integrables o sucesiones.

Así los teoremas básicos de la teoría son extensiones no triviales de cuestiones del Álgebra Lineal, con componentes de continuidad (Topología) y casi siempre con una interpretación geométrica.

El estudiante de esta asignatura se encontrará con el reto de enfrentarse a que cuestiones asumidas en los espacios vectoriales de dimensión finita no pueden ser supuestas cuando estos son de dimensión infinita. Y en esa dirección van los importantes teoremas que se le irán desplegando a lo largo del curso.

Espacios de dimensión infinita, topologías débiles, compacidad de subconjuntos, sucesiones de Cauchy no convergentes, operadores continuos y no continuos son algunas de las herramientas que tiene la asignatura para que el estudiante aprenda y reflexione.

PEQUEÑA PRESENTACIÓN HISTÓRICA

Los espacios normados fueron introducidos en la segunda decada del siglo XX. No fué un hecho aislado, porque paralelamente se desarrollaban teorías más generales como eran los espacios vectoriales topológicos y otras más concretas como la de los espacios de Hilbert. Por supuesto unas y otras iban influyendose entre sí, la teoría de espacios de Hilbert fué una inagotable fuente de sugerencias y definiciones que los espacios normados recogieron y ampliaron afinándolas. Lógicamente importantes matemáticos hacían artículos con repercusión en varias teorías a la vez.

Ya desde el origen del Cálculo Infinitesimal se vió la necesidad para el tratamiento de algunos problemas el paso de lo finito a lo infinito. El cálculo en diferencias dio lugar a su paso a lo infinito con el cálculo infinitesimal. A mediados del siglo XVIII las semejanzas entre el Álgebra Lineal y los problemas del Cálculo Diferencial se manifiestan en el estudio de la ecuación de las cuerdas vibrantes. Daniel Bernoulli tiene dos ideas que serán reiterativas en el tratamiento de los problemas funcionales con origen en la ecuación de la cuerda vibrante.

La primera es considerar la oscilación de una cuerda como el limite de la oscilación de n masas puntuales en la cuerda vibrante.

La segunda es que la oscilación general se puede descomponer como la suma de las oscilaciones propias.

Pero lo fundamental es que tanto las ecuaciones diferenciales  como las ecuaciones integrales se empezaron a considerar como operadores definidos en espacios de funciones con valores en espacios de funciones. Muchos de ellos tenían propiedades lineales con lo cual eran una generalización de las trasformaciones lineales.

Bernhard Riemann (1826-1866) en su tesis ya hablaba de colecciones de funciones formando un conjunto conexo y cerrado.

Ascoli y Arzela intentaron extender la teoría de conjuntos de Cantor a conjuntos de funciones que consideraban como puntos. Hadamard en el Primer Congreso Internacional de Matemáticos de 1897 sugirió que se tratasen como conjuntos de puntos ciertas colecciones de curvas a efectos de utilizarlas como dominios de definición de los operadores para utlizar métodos análogos al análisis matemático y del álgebra lineal.

El mayor esfuerzo por construir una teoría abstracta de los espacios de funciones lo hizo Maurice Fréchet (1878-1973) en su tesis doctoral de 1906, en la que introdujo los espacios métricos, asi como los operadores lineales y (esto está relacionado con nuestro trabajo) denominó “extremal” a los conjuntos secuencialmente compactos y “compactos” a los relativamente secuencialmente compactos.

Las métricas en los espacios de funciones que hoy conocemos como norma del supremo y de la integral también se definieron en los trabajos de Fréchet, así como la métrica (denominada de Fréchet) en los espacios de sucesiones. Otros de los logros de este matemático francés fué la definición de continuidad y diferenciabilidad de un funcional, lo que hoy conocemos como derivada de Fréchet.

En 1906 E.H.Moore comenzó a extraer de la teoría de las ecuaciones lineales con un número finito de incognitas la teoría para infinitas incognitas, y a sus estudios los denominó Análisis General con una introducción axiomática.

Los estudios de Hilbert sobre las ecuaciones integrales se basaban en el desarrollo de las funciones por su serie de Fourier, pero Hilbert no asoció los coeficientes de Fourier a puntos de un espacio infinito dimensional. Quien lo hizo fué Schmidt fundamentando desde el caso de dimensión finita al infinito las desigualdades de Bessel y la fórmula de Schwarz. En 1907 tanto Schmidt como Fréchet anunciaron que la geometría del espacio L^{2}era identica a los espacios de Hilbert. A partir de aquí ya se hace evidente el paralelismo entre los espacios de Hilbert y los espacios de funciones. Hilbert en su espacio axiomatizado se ve en la necesidad de introducir dos tipos de convergencia distintos: los que corresponden a nuestra convergencia débil y fuerte.

Otra aproximación a los espacios abstractos la inició Riesz, aproximadamente en 1918, aunque la definición completa es de Banach que junto con Hahn y Helly trabajaron sabiendo que las normas podrían no tener un producto escalar asociado. La mayor generalidad llevaba a estudiar más espacios pero se perdía la ortogonalidad y por tanto la posibilidad de asegurar la existencia y localización de puntos próximos.

Banach introdujo la definición de operador lineal continuo y estudio la ecuación

x+hF(x)=y

donde x e y son funciones de un espacio, F un operador lineal continuo y h un escalar. Encontró una solución en forma de serie. Generalizando el método de Volterra de resolución de las ecuaciones integrales.

En 1927 Hahn enunció el Teorema de Hahn y en 1929 Banach independiente lo enunció y demostró el teorema que pasó a llamarse de Hahn-Banach. Entre ambos construyen toda la teoría de dualidad y de operadores y sus traspuestos. Hubo muchas aportaciones de Helly y Minkowski. Steinhaus y Saks se preocupan por las cuestiones de “categoría” lo quedesemboca en el enunciado de los teoremas de Grafico Cerrado y Babach-Steinhaus, dejando construidas las bases que fundamentan la teoría.

Todos estos avances pudieron ser formalizados y estructurados por los avances de la Topología General entre 1930 y 1940, afinados por el uso de J. von Neumann en 1935 de los espacios localmente convexos y de los conjuntos acotados, que consiguieron espectaculares resultados en los trabajos de Mackey.

Una de las aplicaciones más potentes es la Teoría de Distribuciones de Schwartz donde los espacios localemte convexos y sus duales es fundamental en la resolución de ecuaciones funcionales.

Cada teorema  tiene una historia de una investigación detrás que el estudiante aficionado podrá rastrear.

La asignatura “Espacios normados” se encuentra al final del Grado en Matemáticas, en cuarto curso y tiene carácter optativo con 5 créditos ECTS, lo que supone 125 horas de estudio activo por parte del estudiante. Esta optatividad presupone un interés por parte del alumno por cursarla.

Tiene un matiz muy teórico en cuanto a sus enunciados si bien sus aplicaciones son imprescindibles en todo el Análisis Matemático que se ha ido haciendo en el siglo XX. El tiempo en Matemáticas es lento, por lo que un conocimiento es “moderno” aunque ya haya cumplido los cien años. Desde este punto de vista los Espacios Normados son muy modernos y su origen fueron las aplicaciones a resultados de problemas concretos, ecuaciones diferenciales e integrales provenientes de la Física, generalización del concepto de matriz a operadores y por tanto matematización de la Mecánica Cuántica, profundización en las propiedades de los espacios de Hilbert,…, que en la mente de brillantes matemáticos tenían un substrato común y optaron por contextualizarlas en un marco general para tratar de manera única problemas aparentemente alejados.

Además esta generalización conllevaba el uso de las intuiciones que el Álgebra Lineal proporcionaba con  el rigor y potencia del Análisis Matemático y la Topología, lo que facilitaba espectacularmente el avance que se produjo desde la segunda década del siglo pasado en adelante.

Por tanto es una materia eminentemente analítica y geométrica donde el alumno que la curse tendrá que reflexionar sobre las diferencias drásticas entre lo que ocurre en los espacios vectoriales de dimensión finita y los espacios vectoriales de dimensión infinita cuando se les incorpora una determinada topología.

La asignatura al final del grado sirve para englobar lo que el alumno ha ido aprendiendo del Álgebra Lineal, de las sucesivas asignatura que desarrollan el Análisis Matemático, en incluso de la Topología General que encuentra en los espacios normados una excelente concreción de algunos de sus resultados y de sus contraejemplos.