El curso está estructurado en torno al cuestionario sobre el texto de Torretti: son 22 preguntas que el estudiante puede resolver en 11 semanas. Cada estudiante debe resolver ambas preguntas (dedicando unas 500 palabras a cada respuesta) y colgarlas en el foro dedicado a ello en el curso virtual como prueba de evaluación continua.

Sin embargo, las preguntas no analizan con igual intensidad todas las partes del libro. Las diez primeras se concentran sobre las 100 primeras páginas. Pero sólo hay cuatro preguntas sobre las 70 páginas siguientes. Sobre los tres últimos capítulos del libro (2.10, 2.11 y 2.12) se formulan apenas tres preguntas generales, pero su estudio requiere bastante profundidad. Como principio general, no se pretende que el alumno maneje o memorice los muchos formalismos y demostraciones que presenta Torretti, sino que debe trabajar con ellos para poder responder con precisión a las preguntas planteadas en el cuestionario. Se recomienda que cada estudiante vaya avanzando y resolviendo el cuestionario a su paso, sin perder de vista el calendario de referencia del curso. Cuando le surjan dudas, debe colgarlas en el foro dedicado al efecto en el curso virtual.

Cuestionario

Parte I | Conjuntos
(1) Haga una breve semblanza (1000 palabras) de Georg Cantor apoyándose en materiales que encuentre en la red –e incluya la referencia
(2)  Explique de qué modo se originan las ideas de Cantor sobre el infinito en el estudio de las series trigonométricas
(3) Explique el concepto cantoriano de potencia (numerosidad) y los distintos tipos de infinito que permite distinguir
(4) Según Torretti, ¿qué dos vías confluyeron en la formación del concepto de transfinito?
(5) ¿Por qué el teorema del buen orden es central para el programa de Cantor?
(6) ¿Por qué los cardinales transfinitos son distintos de los ordinales?
(7) ¿Qué es la hipótesis del continuo y cómo afecta al programa de Cantor?
(8) ¿Por qué no toda “pluralidad bien definida” sería un conjunto en el sentido de Cantor?
(9) Explique la controversia entre Poincaré y Zermelo a propósito del axioma de selección
(10) ¿Por qué se hizo necesario definir axiomáticamente la teoría de conjuntos?

Parte II | Cálculos
(11) Haga una breve semblanza (1000 palabras) de David Hilbert apoyándose en materiales que encuentre en la red –e incluya la referencia
(12) Explique la importancia de los conceptos de consistencia, punto de vista finito y razonamiento sustantivo en el programa de Hilbert
(13) Explique cuál era el proyecto de Gottlob Frege y en qué sentido su definición de número introdujo una contradicción que lo arruinaría
(14) Explique las paradojas de Cantor y Burali-Forti y en qué sentido afectaban al concepto cantoriano de transfinito. Explique también en qué sentido la teoría russelliana de los tipos proporcionaba una solución y a qué coste.
(15) ¿Por qué el concepto de aseveración funcional y el modo recursivo de pensar defendidos por Thoralf Skolem permitirían una fundamentación hilbertiana de la aritmética?
(16) ¿En qué consiste el problema de la decisión? ¿En qué sentido lo resuelve E. Post para el cálculo proposicional?
(17) ¿De qué modo prueba Gödel que el cálculo predicativo de primer orden es completo? ¿Por qué la prueba no es constructiva?
(18) ¿Qué es, para Hilbert, la teoría de la prueba? ¿En qué sentido el procedimiento de gödelización utilizado en la prueba de los teoremas de incompletitud ejemplifica esta teoría hilbertiana?
(19) Explique y comente la siguiente afirmación de Torretti (p. 352): el primer teorema de incompletitud de Gödel “habrá de parecernos mucho más grave si creemos que P y los sistemas afines comprende todos los recursos de que dispone el hombre para conocer con certeza una verdad sobre números no incluida ya en la aritmética finitista”
(20) ¿En qué sentido la tesis de Church constituye “una decisión de aceptar la computabilidad como criterio de calculabilidad” (p. 376)?
(21) ¿Qué quiere decir que “el problema de la detención es insoluble”?
(22) Gerhard Gentzen utilizó la inducción transfinita en sus dos demostraciones de la consistencia de la aritmética formalizada. Explique y comente la siguiente observación de Torretti (p. 319): “Si el programa de Hilbert acaba recurriendo al transfinito, ¿por qué tantos melindres y reservas ante el paraíso heredado de Cantor? ¿por qué no instalarse en él, alegremente, de una vez por todas?”