La palabra Geometría viene de medir y los espacios métricos son la estructura que se usa en matemáticas para este fin.

Este es un capítulo preliminar. La noción de medida y la estructura matemática donde se mide, los espacios métricos, nos acompañarán a lo largo de todo el curso.

Tema fundamental: se introduce la geometría euclidiana por medio de axiomas, como ya lo hizo Euclides en sus Elementos hace 2000 años.

Se estudia la geometría plana siguiendo el método axiomático que es usual en matemáticas. En este capítulo se introducen los axiomas y se establecen las primeras propiedades geométricas.

Son las transformaciones del plano que conservan la distancia. Nos permiten mover objetos y figuras.

Las isometrías del plano se estudian clasificándose en cinco tipos: identidad, reflexiones, traslaciones, rotaciones y reflexiones con deslizamiento.

El concepto de ángulo es fundamental en geometría. Se establecen algunas de las propiedades esenciales, por ejemplo que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (que es un teorema que depende esencialmente del axioma de las paralelas).

El teorema de Tales es uno de los más importantes de la geometría euclidiana y sirve de fundamento para poder definir las razones trigonométricas de los ángulos.

No es necesario decir nada sobre la importancia del teorema de Pitágoras. En este capítulo se utilizará para obtener las fórmulas fundamentales para estudiar triángulos. Se introduce la geometría analítica plana.

Las semejanzas son un tipo de transformaciones que permiten ampliar o reducir el tamaño de las figuras pero manteniendo otras propiedades geométricas invariantes (por ejemplo la medida de los ángulos). Son de gran utilidad y se presentan algunas aplicaciones como la demostración de algunos teoremas clásicos sobre triángulos.

Las circunferencias son, con los triángulos y polígonos, unas de las figuras más importantes de la geometría euclidiana plana. Definiremos, usando las circunferencias, una nueva transformación del plano: la inversión.

La geometría hiperbólica es una geometría que se puede construir dentro de la geometría euclidiana y que verifica todos los axiomas de la geometría euclidiana salvo el axioma de las paralelas. De esta forma se prueba que tal axioma es independiente del resto, que era el problema abierto más famoso sobre la fundamentación de la geometría.

Los polígonos son las figuras que generalizan los triángulos. Se estudia la problemática sobre la construcción de figuras con regla y compás. La posibilidad de construcción de polígonos regulares usando regla y compás generó un importante problema geométrico que los matemáticos han reducido a una cuestión sobre teoría de números.

En este capítulo se introducen axiomas para la geometría espacial que modela la geometría del espacio que nos rodea. Se muestra la dificultad de los argumentos axiomáticos en este modelo. Se ofrece una introducción a la geometría analítica del espacio y a cómo construir la geometría en otras dimensiones usando la geometría analítica. La geometría analítica se estudiará con más profundidad en la asignatura Geometrías Lineales de segundo curso.

Se da la clasificación de las isometrías del espacio, de forma análoga a como se hizo en el plano, pero con las características propias del espacio tridimensional.

Los poliedros son unas de las figuras más importantes del espacio. Los poliedros regulares o sólidos platónicos son, por su belleza e importancia, objetos que no pueden dejar de ser estudiados en un curso de geometría básica.