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Subject code : 61042053
La noción de oscilador, y la de vibración, es esencial para el estudio de la dinámica de las evoluciones no monótonas, y constituye un excelente ejemplo para introducirnos en las ideas de estructuración y complejidad en el tiempo. Empezaremos con un repaso al péndulo simple - del que sería un error pensar que es un problema trivial – y su contrapartida natural amortiguada. Nos preguntaremos qué es necesario para mantener las oscilaciones, analizando en detalle los osciladores de van der Pol y paramétrico, como casos de oscilaciones sostenidas que nos llevarán al concepto de ciclo límite.
El cambio de comportamiento de un sistema no lineal está ligado a la idea de estabilidad de soluciones de un sistema. Las soluciones más simples las constituyen los puntos críticos y de cuantificarla nos ocuparemos en este tema, por medio de lo que se denomina principio de estabilidad lineal, que reduce el problema de la estabilidad a la resolución de un simple problema lineal.
La descripción de los ejemplos de los dos temas anteriores nos permite abordar de forma muy simple la noción de bifurcación, concepto fundamental en el estudio de los sistemas no lineales. Pasado el punto crítico en el espacio de parámetros del sistema, la observación de una ruptura se traduce, desde un punto de vista matemático, en lo que se denomina una bifurcación. Se trata simplemente de un cambio cualitativo en las soluciones de las ecuaciones. Como la dimensión del espacio de parámetros depende del sistema, hemos de liberarnos de toda restricción derivada de este hecho. Es cuando interviene el concepto de codimensión de una bifurcación. Desarrollaremos el caso más simple de codimensión igual a uno, sistematizando las bifurcaciones posibles y lo que llamaremos sus formas normales.
4.1 Ejemplos de ecuaciones simples y su resolución
4.2 Clasificación de las EDP de segundo orden con coeficientes constantes
5.1 La ecuación unidimensional del calor-difusión
5.2 Condiciones iniciales y de contorno
5.3 La distribución de equilibrio
5.4 Ampliación de la ecuación a mayores dimensiones.
6.1 Método de separación de variables
6.2 Problemas de contorno: autovalores y autofunciones
6.3 Soluciones producto y principio de superposición
6.4 Conjunto de funciones ortogonales
6.5 Series de Fourier
7.1 Ecuación de ondas unidimensional
7.2 Cuerda vibrante con extremos fijos
7.3 El método de d'Alembert
8.1 El problema de Sturm-Liouville
8.2 Autovalores y autofunciones
9.1 Ecuaciones del calor-difusión y de ondas en 2D y 3D. Ejemplos
9.2 Separación de variables y problema de autovalores
9.3 Ecuación y funciones de Bessel
9.4 La ecuación de Laplace: soluciones y propiedades
9.5 Polinomios de Legendre