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En el curso virtual de Ampliación de Cálculo se publica en abierto todo el material didáctico de la asignatura: el texto-base, soluciones de los cuestionarios y una colección de ejercicios resueltos. En el texto-base se hallará una amplia información sobre los contenidos fundamentales y las palabras clave de cada bloque.
Este bloque 0, que corresponde al tema I del manual, está, a su vez, dividido en dos partes. En la primera, se revisan las notaciones y los conceptos básicos de las matemáticas, con el fin, no solo de ayudar al estudiante a recordar esas nociones, sino con el ánimo de fijar una notación y una terminología, que pueden variar de uno a otro manual. En la segunda parte, se presenta una revisión del los conceptos elementales del cálculo infinitesimal estudiados en cursos anteriores (funciones, límites, derivadas, integrales, series, etc.)
Los contenidos de este primer bloque son anteriores a los correspondientes a Ampliación de Cálculo, pero es muy recomendable revisar este bloque 0 antes de comenzar con el estudio propiamente dicho. La formación matemática que le supone a quien se matricula en Ampliación de Cálculo debería capacitarlo para comenzar el estudio de la asignatura por el bloque I; sin embargo, es natural que incluso la persona mejor preparada necesite revisar antes, en el bloque 0, las notaciones que se emplearán. Por eso, en el Plan de Trabajo, se reservan siete horas para esa tarea.
Es perjudicial engañarse con la autoevaluación inicial. Si apreciamos la necesidad de dedicar más horas al bloque 0, debemos hacerlo sin dudar, pero sin pretender descontar el tiempo empleado del que requieren los bloques I, II y III.
El equipo docente publicará el Tema I en la página de Internet del Departamento de Matemática Aplicada de la UNED, de manera que esté a disposición de los estudiantes antes de la apertura de los cursos virtuales.
El bloque I está formado por
En el tema II podemos encontrar tanto elementos de repaso de Álgebra lineal y multilineal (espacios vectoriales, aplicaciones lineales, determinantes, etc.), como complementos formativos nuevos. Estos complementos formativos se pueden clasficar en:
Solo una parte de la carga de trabajo que requiere el estudio de este tema puede incluirse en las ciento cincuenta horas de dedicación de Ampliación de Cálculo (el resto, corresponde a materiales de repaso).
El tema III se dedica al estudio del cálculo diferencial vectorial. Se intenta ofrecer un enfoque más moderno del habitual en los manuales destinados a estudiantes de ingeniería, mediante una presentación unificada, tanto de los operadores gradiente, divergencia y rotacional, como de las parametrizaciones de superficies y las coordenadas curvilíneas. En algunos apartados, como al introducir el concepto de diferencial de una forma, reducimos al máximo el rigor en la exposición, para intentar transmitir las ideas básicas.
El tema III está dividido, a su vez, en tres partes:
El bloque II está formado por
El tema IV trata sobre la integral. Más concretamente, sobre la noción de integral de Lebesgue. El principal inconveniente de introducir esta teoría en los estudios de ingeniería reside en la dificultad de exponerla de una manera inteligible y rigurosa. Aquí se esquiva ese inconveniente, porque no pretendemos llegar al nivel de rigor de los cursos de teoría de la integración. Con todo, muchos profesores de matemáticas considerarán que debe estudiarse antes la integral de Riemann. Nosotros presentamos la integral de Lebesgue mediante funciones escalonadas con infinitos escalones (a la manera de Piotr Mikusiski y Michael D. Taylor, aunque de forma mucho más tosca; ver la bibliografía del texto-base). De esta manera, la noción de integral de Riemann, incluso desde el punto de vista didáctico, queda como un simple caso particular.
El bloque de integración concluye con el tema V, que trata de las aplicaciones. Algunas de ellas son las habituales en un libro cálculo (longitudes, áreas, volúmenes, baricentros, ...), pero otras, como las funciones generalizadas y las aplicaciones a la probabilidad y la estadística, no son tan recuentes.
Al estudiar la noción de medida en el tema IV, ya se han visto el cálculo de áreas en R2 y el de volúmenes en R3 . En su momento, en el tema II, se vio el volumen k-dimensional de un variedad lineal de Rn . En este tema, combinamos las dos ideas, para calcular volúmenes k-dimensionales de variedades no necesariamente lineales (es decir, variedades curvadas): en particular, de curvas de R2 y R3 y de superficies de R3 .
Si tuviéramos que destacar un concepto en este tema, sería el de baricentro, en su sentido más general, como promedio ponderado.
Este último bloque está formado por
Al abordar el tema VI, sobre número complejos y funciones complejas, el estudiante debe partir de dos modelos mentales o marcos de referencia: la recta real y el plano cartesiano. En la recta real, R, tenemos dos operaciones básicas (adición y multiplicación) que satisfacen las propiedades que venimos estudiando desde el colegio. También tenemos un orden total compatible con esas operaciones. Lo podemos resumir diciendo que R es un cuerpo normado completo y también ordenado (arquimediano). En el plano cartesiano, R2 , también tenemos dos operaciones básicas (adición y multiplicación por números) que gozan de propiedades análogas, pero no se pueden multiplicar dos elementos de R2 para obtener otro elemento de R2. Tampoco es posible definir en R2 una relación de orden total compatible con sus operaciones. El plano complejo C es geométricamente idéntico a R2 , pero algebraicamente es idéntico a R (cuerpo normado completo). Si prestamos atención, tanto a las analogías, como a las diferencias, gran parte del trabajo de este tema estará hecho. En el tema VI se distinguen tres bloques temáticos:
Antes de entrar en el desarrollo del tema VII, que trata sobre la denominada Teoría de Cauchy, conviene ver, desde lejos, hacia dónde vamos.
Cuando queremos hacer la integral de una función y=f(x) sobre un intervalo [a,b] de la recta real, buscamos una función F cuya derivada sea f y evaluamos F(b) − F(a). No hay ningún motivo para pensar que, en el caso de funciones de variable compleja, no ocurra algo parecido. Efectivamente, el resultado es casi idéntico, pero hay dos diferencias fundamentales, que son consecuencia de lo distintas que son las geometrías de R (una recta) y de C ≡ R2 (un plano):
No es difícil imaginar que nuestro objetivo sea desarrollar un procedimiento que permita calcular las integrales de esas funciones continuas que no dan cero al integrarlas sobre una cierta curva cerrada (en primer lugar, habrá que distinguirlas de las que sí dan cero, claro).