El objetivo principal que se pretende es facilitar el acceso a herramientas relacionadas con la medida e integración, que resultan esenciales en el estudio de diversas ramas del Análisis Matemático tales como el Análisis Funcional, las ecuaciones diferenciales, el Análisis de Fourier y la Teoría de la Probabilidad. Se procurará proporcionarle asimismo una serie de destrezas relacionadas con el cálculo práctico para los espacios de medida más habituales y para funciones concretas, y también para saber aplicar teoremas fundamentales de convergencia y otros.
Finalmente, se intentará trasladarle asimismo hábitos, métodos e ideas útiles para una futura actividad investigadora.
Conocimientos.
Conocer y comprender ciertas clases de conjuntos (anillos, álgebras, σ-anillos, σ-álgebras, clases monótonas, etc.), y sus propiedades.
Conocer bien las medidas aditiva, completamente aditiva (o σ-aditiva), y exterior.
Conocer las funciones medibles e integrables, y sus propiedades.
Conocer los teoremas de convergencia, en relación con la integración; incluido el teorema de convergencia dominada de Lebesgue.
Entender y saber demostrar los teoremas de Fubini y de Hobson Tonelli.
Conocer la complección de una medida y, en particular, de un producto de medidas.
Conocer las medidas signadas y sus propiedades. Interpretar las integrales como medidas signadas.
Conocer la derivación de medidas de Radon, para dimensión finita, y la derivación de integrales.
Conocer los principales conceptos relacionados con la derivación en la recta real.
Destrezas y habilidades.
Saber dar diferentes ejemplos de clases fundamentales de conjuntos.
Poder demostrar con detalle el teorema de extensión de Hahn, y los resultados principales sobre extensiones de medidas.
Saber aplicar la medida de Lebesgue-Stieltges en R, y sus propiedades.
Saber demostrar los Teoremas de Egoroff y de Lusin.
Manejar con soltura distintos tipos de integrales.
Familiarizarse con los productos de espacios medibles y de espacios medidas; y con los productos tensoriales de medidas.
Saber demostrar los teoremas de Hahn y de Jordan; y el teorema de recubrimiento de Vitali.
Manejar los espacios normales, completamente regulares, y localmente compactos.
Competencias.
Poder construir con detalle la medida de Lebesgue.
Utilizar, en distintas situaciones, las medidas de Radon; y los teoremas de Lusin, y de representación de Riesz, y sus respectivas demostraciones.
Relacionar conceptos topológicos con las medidas de Borel regulares, las medidas de Baire, y sus aplicaciones.
Poder desarrollar y aplicar los principales resultados relativos a los espacios de Lebesgue.
