Objetivo general: En este curso el estudiante podrá conocer algunas de las clases de operadores mas representativas dentro del análisis funcional y los resultados mas destacados obtenidos para las mismas. Verá distintos modos de introducir familias de operadores y la estrecha conexión entre el comportamiento de los operadores y las estructuras de los espacios de Banach donde están definidos. Por último, el estudiante podrá ver con detalle el caso especial de los operadores compactos que actúan entre espacios de Hilbert, cuyas buenas propiedades nos permiten una clasificación de los mismos mas precisa.
1. Conocimientos
Conocer la definición y la estructura topológica del espacio de Banach formado por los operadores.
Conocer los teoremas fundamentales que satisfacen los operadores: El teorema de la acotación uniforme, el teorema de la aplicación abierta y el teorema de la gráfica cerrada y entender el papel que juega en la demostración de los mismos el teorema de topología conocido como Teorema de Baire-Haussdorff.
Conocer la definición y propiedades fundamentales de los siguientes operadores: de rango finito, isomorfismos, proyecciones, compactos, débilmente compactos, incondicionalmente convergente , absolutamente p-sumantes y de Schatten Von Neuman
Conocer las relaciones que se dan entre las distintas familias de operadores estudiadas tanto en el caso general como en los espacios de Hilbert.
Conocer el teorema de Dominación de Pietsch.
Conocer el teorema de representación de Hilbert-Schmidt.
Conocer la definición y propiedades fundamentales de los números de aproximación.
2. Destrezas y habilidades
Aprender a usar las caracterizaciones de la norma de un operador para calcularla en casos concretos.
Aprender a calcular el traspuesto de un operador en los espacios de sucesiones y en los espacios de Hilbert.
Aprender a relacionar un operador con su traspuesto y su bitraspuesto para obtener información de los mismos.
Aprender a usar las propiedades mas destacadas de los espacios de Banach para construir operadores que pertenezcan a las familias deseadas.
Aprender a representar los operadores compactos en los espacios de Hilbert para clasificarlos.
3. Competencias
Conocer las diferentes caracterizaciones de la continuidad ligadas a las condiciones de linealidad.
Conocer las conexiones entre la continuidad de las aplicaciones lineales con las topologías de la norma y las débiles.
Conocer la estrecha conexión entre las propiedades de un operador y su traspuesto.
Conocer las conexiones entre las propiedades de los espacios de Banach y las relaciones entre familias de operadores.
