Los objetivos generales son los de conocer y poder utilizar determinadas herramientas básicas que son de uso común en el estudio teórico/computacional de sistemas macroscópicos (materia condensada), tanto a un nivel elemental como de investigación. Con más detalle:
En el Tema 1:
Entender y manejar el concepto básico de colectivo para sistemas en equilibrio Plantear el caso del colectivo microcanónico (para un sistema aislado) con el principio de igualdad de probabilidades a priori entre los estados accesibles. Deducir el colectivo canónico (para un sistema cerrado en contacto con un baño térmico), tomando contacto con la función de partición (caracterización matemática del colectivo). Ampliar el enfoque anterior a otras situaciones de interés, como el colectivo gran canónico o el colectivo isotermo-isobárico.
Saber que, aunque cada colectivo está adaptado a una situación específica, todos ellos son equivalentes en el límite termodinámico, lo que se demuestra utilizando la teoría de fluctuaciones.
Tomar contacto con las estadísticas clásica (Maxwell-Boltzmann) y las cuánticas para partículas con espín entero (Bose-Einstein) y con espín semi-entero (Fermi-Dirac).
En el Tema 2:
Entender la definición de equilibrio desde un puntos de vista microscópico y distinguir las posibles características de simetría en sistemas clásicos.
Comprender el concepto de espacio fásico y reducir esta definición al caso del equilibrio obteniendo el espacio configuracional.
Analizar las características de la ecuación de evolución temporal de Liouville.
Saber definir las funciones de distribución reducidas (por grupos de partículas) para construir funciones dinámicas.
Saber deducir la función de partición configuracional (colectivo canónico) y entender sus características en casos sencillos.
Saber especializar las funciones reducidas generales al caso del equilibrio y obtener las funciones de correlación reducidas.
Comprender y saber utilizar en diversos contextos la función de correlación reducida más importante: la función de correlación entre pares de partículas de un fluido monoatómico puro.
Distinguir entre propiedades mecánicas y propiedades no mecánicas (o térmicas) utilizando en su cálculo esta función de correlación de pares.
Conocer técnicas que permiten plantear ecuaciones que pueden conducir a las funciones de correlación de orden superior (entre tres cuerpos, en este curso). Tomar contacto con y comprender el carácter jerárquico de la Mecánica Estadística.
En el Tema 3:
Conocer la existencia de los potenciales de interacción entre las partículas de un sistema, como consecuencia de la naturaleza eléctrica de átomos y moléculas, y visualizarlos como los causantes de las desviaciones del comportamiento ideal.
Analizar las propiedades de potenciales de interacción sencillos (esferas rígidas y Lennard-Jones) entre una pareja de partículas. Conocer la existencia de esquemas más elaborados para representar estos potenciales. El tema tratará de sistemas monoatómicos en los que la mecánica estadística clásica es aplicable.
Estudiar los gases reales desde la perspectiva mecanoestadística. Aprender a utilizar el tratamiento de perturbaciones y deducir con él la ecuación de estado de van der Waals. Saber plantear las denominadas integrales de enjambre y comprender su significado físico. Comprender la ecuación de estado del virial microscópicamente y dar sentido físico a los coeficientes de este desarrollo. Analizar las propiedades de validez de esta ecuación, visualizando por qué no resulta válida para sistemas muy densos (líquidos, por ejemplo).
Distinguir la naturaleza de un líquido como separada de la de los gases densos, reconociendo al mismo tiempo las muchas analogías entre ambos. Comprender el fenómeno de la dispersión de radiación por una muestra líquida (o en general de fluido) y su relación con la función de correlación entre pares de partículas a través del denominado factor de estructura estática. Observar la medida del orden en una muestra fluida que contienen tanto la función de correlación aludida como (su transformada de Fourier) el factor de estructura. Plantear las ecuaciones de estado para un fluido (líquido o gas) basadas en la función de correlación entre pares: ecuación de presión y ecuación de compresibilidad. Comparar ambas expresiones y observar analogías y diferencias.
Abordar diferentes métodos teóricos para calcular la función de correlación de pares (método de Born-Green-Yvon, y métodos basados en la ecuación de Orsntein-Zernike, como Percus-Yevick y de la cadena hiper-reticulada). Analizar dentro de este contexto el papel fundamental que juega la denominada función de correlación directa y su relación con la formulación (numéricamente muy conveniente) del factor de estructura estático.
Estudiar los tipos básicos de redes cristalinas y distinguir el orden (y simetría) existente en un sólido (clásico) de aquél que puede darse en un fluido. Obtener las características fundamentales de las redes cúbicas (simple, centrada en caras, y centrada en cuerpo) y de la red hexagonal compacta. Plantear la función de partición de un sólido clásico en una forma análoga a la de un fluido. Calcular las propiedades termodinámicas de un sólido utilizando la función de partición. Estudiar el problema de los calores específicos de los sólidos cuando la temperatura se aproxima al cero absoluto e introducir la formulación de la función de partición basada en osciladores armónicos cuánticos acoplados para tratar este problema con las teorías de Einstein y de Debye. Finalmente introducir el lenguaje basado en los fonones y curvas de dispersión para presentar someramente algunas ideas sobre la dinámica de redes cristalinas.
En el Tema 4:
Presentar los métodos de simulación con computador como herramientas decisivas en la comprensión desde un punto de vista microscópico de fluidos y sólidos, tanto en el equilibrio como fuera de él. El tema se centra en el método de Monte Carlo.
Utilizando el caso de estudio del colectivo canónico discutir la aplicación del método (equilibrio) de Monte Carlo para estudiar una muestra fluida analizando los problemas que se presentan y las soluciones óptimas para tratarlos: condiciones de contorno periódicas, selección del tamaño de muestra, diferentes tipos de muestreo. Describir en detalle el muestreo de Metropolis utilizando una cadena de Markov que conduzca al sistema modelo (numérico) a una región ergódica que simule el estado de equilibrio del sistema. Distinguir las etapas de la simulación (termalización o equilibración, y muestreo) y conocer como promediar propiedades tanto termodinámicas como estructurales.
En el Tema 5:
Conocer y manejar las herramientas básicas que se precisan para el estudio de la Termodinámica de no equilibrio. Tales herramientas están constituidas fundamentalmente por operaciones diferenciales que afectan a los vectores y, asimismo, se hace uso de entes denominados tensores. Los tensores se introducen de forma elemental a partir del producto diádico de vectores.
Además de considerar las coordenadas cartesianas, se introducen cordenadas curvilíneas generales a partir de la definición de las bases covariantes y contravariantes, lo que introduce en el formalismo los coeficientes y tensores métricos de cada una de las bases. Así, una vez expresados los vectores en coordenadas curvilíneas, se consideran las operaciones algebraicas y diferenciales que pueden efectuarse sobre tales vectores.
Con respecto a las derivadas de vectores de las respectivas bases, covariante y contravariante, debe hacerse mención a los símbolos de Christoffel, que intervienen en las expresiones generales de los gradientes de vectores y de las divergencias -tanto de vectores como de tensores- Finalmente se consideran de forma explícita las bases ortogonales más usuales prestando atención especial a las coordenadas cilíndricas y polares.
En el Tema 6:
Entender la formulación clásica de la Termodinámica de no equilibrio -basada en la hipótesis de equilibrio local- y que requiere la consideración previa de las ecuaciones de balance de masa -ecuación de continuidad- momento y energía. Tales ecuaciones de balance pueden formularse en términos de dos tipos de derivadas: local (denominada derivada euleriana) , o material (denominada derivada lagrangiana).
Recurriendo a la hipótesis de quilibrio local, se determina la tasa de variación de entropía de entropía, que comparada con la expresión general de una ecuación de balance, permite desglsar dicha variación en un témino debido a flujo entrópico y otro de producción de entropía asociado a la irreversibilidad; este último término adopta como expresión funcional general la suma de productos de una fuerza por el correspondiente flujo. De lo anterior son casos particulares las ecuaciones de Fourier (transmisión de calor), Fick (difusión), Newton y Stokes (estas dos últimas referidas a la viscosidad de cizalla y a la de volumen).
Acorde con todo lo anterior, es la introducción del concepto de ecuación constitutiva (también denominada relación fenomenológica) que expresa cada flujo como función de las todas las fuerzas actuantes en el sistema. Asimismo, la teoría clásica de la Termodinámica de no equilibrio, está asociada con la dependencia lineal entre flujos y fuerzas - de ahí la denominación de teoría lineal- acoplados por coeficientes fenomenológico, que satisfacen las relaciones de reciprocidad de Onsager.
En el tema 7:
Superar las limitaciones de la teoría clásica de la Termodinámica de no equilibrio, para lo que se recurre a modelos que permitieran superar las contradicciones de la teoría lineal y poder efectuar un tratamiento satisfactorio de situaciones alejadas del equilibrio. De entre todos los modelos presentes en la bibliografía, en el tema se va a considerar el modelo de Termodinámica Extendida (también conocido por sus siglas en inglés EIT)
El modelo EIT se basa en las hipótesis siguientes: (i) además de la energía interna, volumen, etc., se incorporan como variables independientes los flujos disipativos existentes en el sistema -flujo de calor, transporte de materia, presión viscosa, etc.- (ii) la evolución temporal de las variables clásicas viene dada por las ecuaciones de balance de materia, momento y energía interna, (iii) se postula la existencia de una entropía generalizada que es función analítica de las variables clásicas (energía interna, volumen y composición) y del conjunto de flujos disipativos.
La dependencia funcional entre la entropía y las variables que acaben de mencionarse, se denomina ecuación de Gibbs generalizada y debe ser aditiva, convexa y garantizar que la producción de entropía sea localmente positiva. Por otra parte, una conclusión importante del hecho de aceptar la existencia de una función entropía fuera del equilibrio, es que deja abierta la posibilidad de definir otras funciones termodinámicas fuera de equilibrio
Asimismo, el flujo de entropía ha de depender de todos los flujos existentes en el sistema y, puesto que dicho flujo es de carácter vectorial, su expresión formal ha de construirse combinando los flujos de distintos órdenes tensoriales de tal modo que el resultado sea un vector. Al expresar de forma conjunta la ecuación de Gibbs generalizada, las ecuaciones de balance y la expresión del flujo de entropía, se concluye que la producción de entropía como suma de productos de flujo por una fuerza asociada.
En el tema 8:
Abordar el estudio de los sistemas continuos, para lo que se comienza por considerar la deformación del sistema introduciendo el concepto de coordenadas convectivas y los correspondientes tensores de deformación material y espacial. Un papel central en el estudio del tema es el que corresponde a las derivadas temporales de los vectores de las respectivas bases covariantes y contravariantes necesarias para establecer cómo evolucionan en el tiempo lo tensores de deformación material y espacial.
En el formalismo se introducen nuevos tensores de deformación finita y de deformación infinitesimal, así como la derivada convectiva - considerando de forma explícita las de: un tensor, elbproducto de un escalar por un tensor y el producto de dos tensores- y la derivada corrotacional.
