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El material para este tema estará disponible en la página web del curso. Le acompañará una bibliografía a obtener a través de la hemeroteca de la UNED e internet.
Como acompañamiento, conviene repasar lo ya aprendido en mecánica clásica sobre osciladores simples, refrescando conceptos como grado de libertad, plano de fases, sistemas conservativos y disipativos y contracción de áreas.
La segunda parte del tema está dedicada a los osciladores mantenidos y no lineales. En ella, aparecerán por primera vez conceptos muy importantes en física no lineal, tales como el de ciclo límite, estabilidad y bifurcación.
El tema es muy simple y ha de verse como un simple puente entre el ámbito lineal, bien conocido de todos, y el no lineal, centro de nuestra atención a lo largo de este curso. Permitirá familiarizarse con las algunas de las consecuencias de introducir términos no lineales en conocidas ecuaciones de osciladores.
El tema viene acompañado de un material auxiliar. Son interesantes los enlaces a los portales de:
La Biblioteca Central de la UNED dispone de varios libros sobre la física no lineal y cualquiera de ellos ofrece un tratamiento, más o menos completo, sobre osciladores no lineales.
El tema nos introduce a los sistemas no lineales heterogéneos, es decir, con estructura espacial. Es de fácil lectura y ha de verse como una introducción al desarrollo que se hará de ellos en el Tema 9.
El material para este tema estará disponible en la página web del curso.
La noción de bifurcación, ya entrevista en el Tema 1, es fundamental en el estudio de los sistemas dinámicos. A partir de lo ya aprendido en el Tema 1, desarrollaremos las nociones básicas de valor crítico, y puntos y diagramas de bifurcación, en las bifurcaciones más simples: las de codimensión 1. Recorremos las bifurcaciones típicas, como son la de Hopf y las de puntos estacionarios.
El tema 4 tiene unos contenidos esencialmente instrumentales. Las soluciones de un sistema dinámico no lineal sólo tienen expresión analítica en un número muy delimitado de situaciones (sistemas integrables). Ha de recurrirse a una integración numérica de las ecuaciones y al seguimiento de las trayectorias en el espacio de fases, cuestión bien complicada (o irrealizable) en la gran mayoría de casos. Para solventar este problema, se recurre a un método puesto a punto por el matemático H. Poincaré, y que consiste en analizar los puntos de corte de las trayectorias en un plano, transformando el flujo en una aplicación. Este procedimiento, de alto interés práctico, permitirá calificar la trayectoria como periódica, cuasiperiódica o caótica. También, nos permitirá adelantarnos al contenido del Tema 5.
Muchos modelos invocan un tiempo discreto, en lugar del continuo, al que estamos acostumbrados en las ecuaciones diferenciales, lineales o no lineales. Este tiempo discreto define sistemas dinámicos que denominamos recurrencias o mappings. En principio, constituyen unas ecuaciones más fáciles de analizar que su contrapartida en tiempo continuo, aunque no por ello dejan de mostrar un comportamiento complejo. Han supuesto todo un hito en el desarrollo de la ciencia no lineal y su estudio es insoslayable, tanto por lo que tienen que enseñarnos desde un punto de vista teórico, como por las aplicaciones prácticas que ofrecen.
Se requiere un conocimiento previo de álgebra matricial, especialmente en la obtención de autovalores y autovectores.
El material para este tema estará disponible en la página web del curso. Podrá complementarse con un repaso de las nociones básicas de álgebra matricial. El material de este tema es estándar y puede encontrarse en cualquier libro sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, en los textos más conocidos dedicados a sistemas dinámicos, o a través de internet, que ofrece multitud de páginas web dedicadas al tema.
El primer paso en la dirección que acabamos de perfilar se dirige hacia obtener los puntos fijos y evaluar su estabilidad. En un sistema dx/dt=F(x), estos son las soluciones de las ecuaciones F(x)=0. Una vez hallados, nos preguntamos qué es lo que ocurre con las trayectorias muy cercanas a ellos. Si se alejan, esto querrá decir que una pequeña fluctuación lleva el sistema lejos del punto fijo, y éste será inestable. Lo contrario, hará que el punto fijo sea estable. La formalización de esta idea es lo que se denomina Principio de Estabilidad Lineal, a cuyo desarrollo dedicamos el tema, y que pasa por encontrar una aproximación lineal, dx’/dt=L·x’ al sistema original y resolver el problema de autovalores de la matriz L.
El análisis lineal completo, en función de los distintos parámetros del sistema, nos lleva al cálculo de los llamados puntos críticos, que representaremos en lo que lo denominaremos el diagrama de estabilidad, piedra angular del análisis del sistema.
Como Material auxiliar podemos citar:
cuyos enlaces será debidamente señalados en el curso virtual.
El material para este tema estará disponible en la página web del curso. Seguiremos en el desarrollo de este tema el libro de G. Nicolis, Introduction to Nonlinear Science (Cambridge University Press, 1995, ISBN 0 521 46782 9).
Una vez obtenido el diagrama de estabilidad, hemos de preguntarnos qué tipo de soluciones ofrece el sistema como alternativa a los puntos fijos inestables. Volvemos al concepto de bifurcación y de nuevas soluciones emergentes. Esta vez, vamos a tratar de construirlas, utilizando teoría de perturbaciones alrededor de los puntos fijos. Un análisis general nos permitirá obtener las llamadas ecuaciones de amplitud en los distintos tipos de bifurcación que ya conocemos.
Este tema es esencialmente metodológico y gran parte de estudiado nos servirá para el estudio y desarrollo del tema 9.
Entre el material auxiliar podemos citar:
En el tema anterior hemos obtenido una aproximación analítica a las soluciones alrededor de los puntos fijos. Este tipo de análisis tiene, como sabemos, un limitado rango de validez. A la pregunta de qué ocurre fuera de él, cuando ya penetramos de lleno en el dominio no lineal, sólo puede responderse con exploraciones numéricas. Estas revelan todo una tipología de comportamientos, que pueden llegar a ser extremadamente complejos, tanto en el temporal como espacialmente. Hasta el momento, hemos apercibido cuán complejos pueden ser los cambios en el tiempo (los movimientos caóticos, por ejemplo). En este tema, introduciremos una complejidad referida a la geometría de objetos, por medio de la auto-similitud y los fractales. Los fractales y los sistemas dinámicos no lineales están relacionados a través de caminos sutiles y fascinantes. En este tema, daremos ejemplos de esta relación.
OTRAS CURVAS FRACTALES DE KOCH (Wolfram demonstration)
El tiempo, y la complejidad que genera la no linealidad a lo largo de él, ha sido nuestro principal interés hasta ahora. Sin embargo, también la no linealidad es fuente de complejidad a lo largo del espacio, y a una introducción a ello vamos a dedicar este capítulo.
Tal como se vio en el Tema 2, la no linealidad estructura el espacio. Los modelos de sistemas en los que esta dimensión es relevante, plantean generalmente la descripción del sistema en términos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. En este tema, sin ánimo de profundizar en exceso en un campo como este último, que requeriría un curso por sí solo, haremos un recorrido por los casos más conocidos. Uno de ellos, es el problema de Bénard, fenómeno paradigmático en teoría no lineal y arquetipo de la complejidad en fluidos. El otro caso, es el de las ecuaciones de reacción-difusión, generalización no lineal de la conocida ecuación del calor, 7 y que sirven de modelo para todo un elenco de problemas en las más diversas disciplinas. Las estructuras de Turing constituyen el ejemplo más fácil de analizar de lo que significa la no linealidad en su componente espacial.
El tratamiento que daremos empleará lo aprendido en los temas 2, 6 y 7. En particular, los problemas de reacción-difusión, a los que dedicaremos mayor atención, serán el botón de muestra de nuestro estudio, y distintos ejemplos servirán de objeto de análisis en muchos trabajos de fin de curso.