En este tema presentamos el problema básico que plantea la simulación de fluidos complejos y mostramos la necesidad de encontrar representaciones simplificadas de estos sistemas.

Este tema es prácticamente un glosario de términos y conceptos que son esenciales en la asignatura. En ellos describimos de manera muy concisa todo el esquema de la teoría del granulado, sin entrar apenas en los aspectos matemáticos.

Los conceptos de nivel de descripción, escalas temporales, etc. introducidos en el Tema 2 son ahora ilustrados para un ejemplo concreto, una suspensión coloidal. Aunque se presentan las distintas formas de la ecuación de Fokker-Planck, no se da ninguna justificación de cómo se ha obtenido dicha ecuación. La idea es simplemente observar cómo se implementan los distintos conceptos básicos en cada nivel de descripción de este sistema particular, haciendo una discusión de las escalas temporales involucradas.

4.1 El nivel microscópico (5h): Se introduce el nivel microscópico descrito por las ecuaciones de Hamilton, el espacio de las fases y el teorema de Liouville que gobierna la probabilidad en el espacio de las fases (4.1.1). También se discute la solución estacionaria de la ecuación de Liouville, que describe el estado de equilibrio del sistema (4.1.2).

4.2 El nivel mesocópico (25h). A continuación se introduce el nivel mesoscópico y se discute la necesaria descripción en términos probabilistas de la dinámica mesoscópica, que proviene esencialmente del desconocimiento de las condiciones iniciales. Se formula por tanto, la distribución de probabilidad inicial y cómo se obtiene a partir de un principio de máxima entropía. En este punto es posible consultar el material auxiliar en el curso sobre la definición de funcional (que son funciones en un espacio de funciones) y sobre la maximización con restricciones a través de multiplicadores de Lagrange (4.2.1).

El siguiente apartado (4.2.2) describe cómo podemos obtener una ecuación formalmente exacta para la probabilidad del estado mesoscópico. En este apartado se introducen los operadores de proyección y la colectividad relevante.

Finalmente en (4.2.3) se utilizan las propiedades de los operadores de proyección para obtener una expresión más aceptable de esta ecuación exacta.

En (4.2.4) se introduce la aproximación más importante del método, la denominada aproximación Markoviana. Con esta aproximación, la ecuación exacta deviene una ecuación aproximada que tiene la forma de una ecuación de Fokker-Planck. La obtención de esta ecuación es uno de los objetivos principales de esta asignatura.

Completado el estudio de esta segunda parte de la asignatura, es conveniente volver a repasar la introducción y los conceptos clave de la teoría del granulado, es decir, la primera parte de la asignatura.

También es conveniente estudiar el Material Auxiliar que se suministra en el curso sobre la ecuación de Fokker-Planck, sus propiedades básicas y cómo se puede representar matemáticamente también a través de ecuaciones diferenciales estocásticas (10h).

En este tema se estudia el efecto de poder describir la energía total del sistema en función de las variables relevantes del nivel de descripción mesoscópica. Es decir, qué pasa cuando en el nivel mesoscópico la energía se conserva. En este caso emerge una estructura termodinámica muy potente, denominada GENERIC, que unifica los conceptos de la termodinámica de equilibrio con los de no equilibrio. La discusión se hace en el nivel de la ecuación de Fokker-Planck obtenida en el tema anterior.

En este capítulo recopilatorio hacemos un resumen de las hipótesis usadas y de los resultados obtenidos. Es muy útil en este punto, volver atrás a lo largo de los temas 4 y 5 e ir identificando en qué momentos se hacen las hipótesis y se obtienen las ecuaciones recopiladas.

En los capítulos que siguen a continuación,  se presentan algunos ejemplos de descripciones mesoscópicas de fluidos complejos. En ocasiones, estos ejemplos serán simplemente una aplicación de la ecuación de Fokker-Planck, particularizada al sistema y nivel de descripción elegido. En otras, usaremos directamente la estructura GENERIC para formular estas descripciones.

El primer nivel de descripción a considerar en todo sistema es el de la termodinámica. Usaremos el formalismo para derivar las ecuaciones básicas de la termodinámica para un ejemplo paradigmático, el pistón termodinámico.

En este tema consideramos una suspensión coloidal descrita en el nivel de Smoluchowski, es decir, sólo nos importan la posición de las partículas coloidales. Particularizamos la ecuación de Fokker-Planck obtenida en el Tema 5 a este caso y obtenemos la ecuación de difusión de Smoluchowski.

En este tema, abordamos la descripción de un sistema compuesto de moléculas complejas, formadas por muchos átomos, en el cual definimos el nivel de descripción mesoscópico a través de los centros de masa de las moléculas complejas. Como consecuencia, estos centros de masa interaccionan entre sí a través de potenciales efectivos y fricciones.

Un ejemplo paradigmático de procedimiento de granulado es la obtención de las ecuaciones de la hidrodinámica a partir de las ecuaciones de Hamilton. En este tema estudiamos cómo podemos obtener estas ecuaciones dentro del formalismo GENERIC.

En este tema estudiamos cómo describir un fluido que contiene trazas de otro fluido, de manera que nos fijamos en las variables hidrodinámicas de uno de los fluidos y la concentración del otro fluido.

Finalmente estudiamos cómo podemos describir una supensión polimérica diluida en el marco de GENERIC.