Históricamente el Análisis Funcional tiene sus raices en el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales, pero su desarrollo posterior engloba la teoria en un marco mas amplio: el estudio de los espacios de Banach y de los operadores definidos entre ellos. Los logros obtenidos en Análisis Funcional han permitido un avance importante en la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales, lo cual muestra los extrechos lazos que se dan entre ambas teorías. En este curso no se tratarán estos usos, y nos centraremos y nos centraremos en los fundamentos teóricos. Para ello   se abordan algunos de los teoremas mas importantes del análisis funcional como  el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Banach-Steinhaus, el teorema de la aplicación abierta, el teorema de la gráfica cerrada y el teorema de representación de Hilbert-Schmidt.

Para abordar el estudio de los espacios de Banach es fundamental utilizar la topología débil que se construye usando los elementos del espacio dual. Para tener una intuición sobre esto, en el espacio de funciones continuas C[0,1] sobre el intervalo unidad, dada una sucesión de funciones continuas (f_n)_n de norma (del supremo) <=1, mientras que la convergencia en norma  es la convergencia uniforme, la convergencia para la topología débil corresponde a la convergencia  puntual. 

Ejemplos destacados de espacios de Banach son los espacios de funciones L_p, los espacios de sucesiones l_{p y} los espacios de Hilbert  a todos los cuales se decicará una parte de este curso. Entre los operadores se hará especial incapié  en los operadores compactos entre espacios de Hilbert por su peculiar representación, y que representan la versión infinito dimensional de las diagonalizaciones de ciertas matrices.

El curso finaliza con una introducción a la teoría de bases de Schauder, los sistemas de coordenadas naturales en espacios de Banach.