La Topología es una rama de la Geometría que trata de clasificar objetos geométricos, considerando equivalentes aquellos que son homeomorfos (es decir, que exista una biyección bicontinua entre ellos). La topología se ha desarrollado fuertemente en el siglo XX, construyendo invariantes topológicos que han ganado sofisticación y ayudado a resolver problemas muy importantes dentro de las matemáticas.
Recientemente la topología está siendo útil también en el tratamiento de datos y objetos de múltiples procedencias. En estas aplicaciones confluyen varias técnicas que están dando cuerpo a una nueva disciplina: el Análisis de Datos Topológico o Topología Aplicada, pues las aplicaciones recientes de la topología no se reducen al análisis de datos.
En general en topología aplicada se trata de intentar utilizar técnicas topológicas en el estudio de la geometría de objetos que aparecen en otras áreas y una de las componentes más importantes dentro de las aplicaciones son los métodos computacionales, que hacen posible el cálculo de invariantes de espacios “grandes”.
Las herramientas topológicas generales necesarias, y que será lo primero que se estudiará, son conocimientos básicos sobre complejos y homología simplicial. Más específico de la topología aplicada son los siguientes métodos: la construcción de filtraciones de complejos a partir de nubes de datos u otros objetos, la homología persistente (diagramas y estabilidad), y los métodos computacionales de la homología. Esta asignatura tiene una intersección no vacía con la asignatura "Topología" del máster, aunque el enfoque es diferente y complementario.
El método de trabajo será, en primer lugar, la lectura de materiales recientes donde se introducen de forma sencilla los conceptos, y después estudiar algunas de las aplicaciones de estas técnicas; bien en algunos de los artículos que proporciona el equipo docente o bien en artículos, vídeos o materiales que encuentre el estudiante personalmente.
A continuación copio un fragmento de la Introducción del artículo “A roadmap for the computation of persistent homology”, por Nina Otter, Mason A Porter, Ulrike Tillmann, Peter Grindrod and Heather A Harrington (2017):
“Techniques from the relatively newsubject of ‘topological data analysis’ (TDA) have provided a wealth of new insights in the study of data in an increasingly diverse set of applications — including sensor-network coverage, proteins, 3-dimensional structure of DNA, development of cells, stability of fullerene molecules, robotics, signals in images, periodicity in time series, cancer, phylogenetics, natural images, the spread of contagions, self-similarity in geometry, materials science, financial networks, diverse applications in neuroscience, classification ofweighted networks, collaboration networks analysis of mobile phone data, collective behavior in biology, time-series output of dynamical systems, natural-language analysis, and more. There are numerous others, and new applications of TDA appear in journals and preprint servers increasingly frequently. There are also interesting computational efforts. TDA is a field that lies at the intersection of data analysis, algebraic topology, computational geometry, computer science, statistics, and other related areas.
The main goal of TDA is to use ideas and results from geometry and topology to develop tools for studying qualitative features of data. To achieve this goal, one needs precise definitions of qualitative features, tools to compute them in practice, and some guarantee about the robustness of those features. One way to address all three points is a method in TDA called persistent homology. This method is appealing for applications because it is based on algebraic topology, which gives a well-understood theoretical framework to study qualitative features of data with complex structure, is computable via linear algebra, and is robust with respect to small perturbations in input data.”
