Accesos directos a las distintas zonas del curso

Ir a los contenidos

Ir a menú navegación principal

Ir a menú pie de página

MÉTODOS MATEMÁTICOS IV

Curso 2016/2017/Cod.61043012

MÉTODOS MATEMÁTICOS IV

CONTENIDOS DE LA ASIGNATURA

Primera Parte. Cálculo Tensorial:

1. Espacios vectoriales, norma, producto escalar, distancia. Bases, bases ortonormales. Espacios no euclídeos: base dual y tensor métrico.


2. Cambios de base: concepto de tensor, criterios de tensorialidad. Comportamientos covariante y contravariante. Aplicaciones al caso de escalares, vectores, aplicaciones lineales, generalización a tensores r-covariantes s-contravariantes. Tipos de tensores (simétricos, antisimétricos, isótropos), tensor alternante de Levi-Civita (producto vectorial en R^3).


3. Algebra tensorial. Producto tensorial (producto directo o de Kronecker), producto de contracción. Contracción con el tensor métrico: subida y bajada de índices.


4. Generalización al caso de campos tensoriales. Fibrado tangente, bases, métrica del fibrado tangente. Conexión: Símbolos de Christoffel. Cambios de base en el fibrado tangente. Componentes físicas de tensores (Símbolos de Christoffel físicos).


5. Derivación de campos tensoriales: Concepto de Derivada Covariante. Aplicación de la derivada covariante al cálculo de primeras y segundas derivadas de campos tensoriales.


6. Definición tensorial de los operadores diferenciales habituales (gradiente, divergencia, rotacional, laplaciano). Cálculo en coordenadas generalizadas y en componentes físicas.
 


Segunda Parte. Geometría Diferencial:

1. Concepto de curva. Representaciones paramétrica e implícita. Curvas regulares de clase C^m. Parámetro longitud de arco, proyecciones ortogonales.


2. Curvatura y torsión. Vector tangente (línea tangente y plano normal), vector normal principal (plano osculador, circunferencia osculatriz) y vector binormal (plano rectificador). Triedro de móvil (o de Frenet). Indicatriz esférica.


3. Teoría de curvas. Ecuaciones de Frenet. Ecuaciones intríncecas de una curva. Teorema fundamental de existencia y unicidad de curvas. Curvas involutas y evolutas.


4. Concepto de superficie. Representación paramétrica regular. Cambios de coordenadas (mappings). Superficies simples. Vectores tangentes (líneas tangentes, plano tangente), vector normal (línea normal). Derivadas direccionales del vector normal.


5. Primera y segunda forma fundamental de una superficie (medida de longitudes de arco, áreas y curvatura de superficies). Líneas principales de curvatura, curvaturas principales, fórmula de Rodrigues. Curvatura media, curvatura de Gauss. Clasificación de puntos regulares de superficies, líneas asintóticas.


6. Operador de Gauss-Weingarten, ecuaciones de Gauss-Weingarten. Teorema fundamental de existencia y unicidad de superficies (consecuencias). Aplicaciones del Cálculo Tensorial en el estudio de supericies. Generalización al estudio de variedades n-dimensionales (manifolds).


7. Geometría intrínseca de superficies. Mappings (reparametrizaciones o cambios de variable). Distancia mínima entre dos puntos a lo largo de una superficie. Curvas geodésicas, curvatura geodésica, coordenadas geodésicas. Teorema de Gauss-Bonet.


8. Geometría global.
 

Abierto plazo de preinscripción de MÁSTERES OFICIALES de la UNED