En esta asignatura se presentan las nociones básicas de la integral de Lebesgue, junto con su conexión y aplicaciones a otras ramas de las Matemáticas y de otras Ciencias.

   La "Integral de Lebesgue” es una asignatura que en el plan de estudios de la titulación, Grado en Matemáticas, figura en el primer semestre del cuarto curso. Tiene carácter optativo y se le asignan 5 créditos.

  La integral de una función real positiva  y continua f , definida en un intervalo [a.b] (siendo a y b números reales, con a<b),  puede interpretarse como el área bajo la gráfica de f, en un sentido que se puede precisar.  Esto es fácil de entender para ciertas funciones que nos son familiares , pero... ¿qué quiere decir para funciones un poco más exóticas o con comportamiento errático, o más generales?  ¿Cuál es la clase de funciones para las cuales el concepto de "área bajo la curva" tiene sentido? La respuesta a esta interrogante tiene importancia teórica y práctica fundamental, y ha ido evolucionando con distintas aproximaciones y generalizaciones a lo largo de la Historia, lo cual es  muy conveniente conocer.

   Como parte del  avance de las matemáticas en el siglo XIX, se hicieron varios intentos de fundamentar con rigor el cálculo integral. La integral de Riemann propuesta por Bernhard Riemann (1826-1866), sentó la primera base sólida sobre la cual se desarrolló la integral. La definición de Riemann empieza con la construcción de una sucesión de áreas rectangulares fácilmente calculables cuya suma converge a la integral de una función dada. Esta definición es buena en el sentido de que provee las repuestas adecuadas y esperadas para muchos problemas ya resueltos, así como importantes y útiles resultados para muchos otros problemas.

   Sin embargo, la integración de Riemann no llega a resolver ciertos casos. La integración de una función real continua no negativa definida en R (por considerar sólo el caso más simple) puede considerarse como el área entre la gráfica de una curva y el eje de abcisas. La Integral de Lebesgue, propuesta por Henri Lebesgue (1875-1941), extiende el concepto de integración a una clase mucho más amplia de funciones, así como a los posibles dominios en los cuales estas integrales pueden definirse. Hacía mucho que se sabía que para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como una función continua en intervalos cerrados), el área bajo la curva podía definirse como alguna integral y calcularse usando técnicas de aproximación de la región mediante rectángulos o polígonos. Pero como se necesitaba considerar funciones más irregulares, se hizo evidente que una aproximación más cuidadosa sería necesaria para definir una integral que se ajustara a dichos problemas.

  La integración de Riemann tampoco funciona bien al tomar ciertos límites de determinadas sucesiones de funciones, dificultando su análisis. Esto es algo de vital importancia, por ejemplo, en el estudio de las series de Fourier, la transformada de Fourier y otros temas. La integral de Lebesgue permite saber, de forma más general,  cómo y cuándo es posible tomar límites bajo el signo de la integral.

   La definición de Lebesgue también hace posible calcular integrales para una clase más amplia de funciones. Por ejemplo, la función de Dirichlet, que es 0 cuando su argumento es irracional y 1 en otro caso (racional), tiene integral de Lebesgue, pero no de Riemann.

   En este contexto, esta asignatura, optativa del cuarto curso del Grado en Matemáticas, pretende conseguir que los alumnos conozcan la definición y las propiedades básicas de la integral de Lebesgue y el papel que desempeña en el Análisis Real y en muchas otras ramas de las Matemáticas. Otras integrales han sido propuestas para resolver los problemas que aquellas no terminaban de resolver, algunas en contextos mucho más generales, aunque ello ya escapa del objetivo de esta asignatura.