La Topología es el estudio de los espacios topológicos, las aplicaciones continuas entre ellos, las propiedades topológicas, y, se ocupa también de estudiar si dos espacios topológicos dados son o no homeomorfos. Este último problema, en ocasiones, no es fácil de resolver. Además de los instrumentos que tiene la Topología General para su resolución, algunos de los cuales han sido tratados en la asignatura de Topología de este grado, existen otros métodos para resolver el mencionado problema, que son de naturaleza más bien algebraica. De estos métodos se ocupa la Topología Algebraica. En esta asignatura de Ampliación de Topología nos ocupamos de algunos conceptos y resultados de Topología Algebraica, no de tantos como desearíamos, ya que el número de créditos de la presente asignatura es limitado, pero sí de algunos de ellos que tienen gran importancia y estimamos deben ser conocido por los estudiantes del Grado en Matemáticas, o, al menos, por aquellos que opten por esta asignatura de Ampliación de Topología.
Así, entendemos que el estudiante debe conocer con cierta amplitud y profundidad la noción de grupo fundamental. Una noción prácticamente inseparable de la noción de grupo fundamental de un espacio topológico es la noción de espacios recubridores, por lo que también debe conocerse y ser objeto de estudio. Esta noción permite, entre otros, calcular el grupo fundamental de la circunferencia, considerada como subespacio topológico del Plano Euclídeo R^2. También permitirá, por ejemplo, determinar el grupo fundamental del toro, que es una de las superficies básicas más importantes en Topología, en Geometría, en el estudio de los Sistemas Dinámicos, y en otras ramas de las Matemáticas. Se estudian retracciones, puntos fijos, y se utilizan todos los métodos anteriores para dar una demostración del Teorema Fundamental del Álgebra, y de otros resultados tales como el Teorema de Borsuk-Ulam para la esfera bidimensional, y el Teorema de la Bisección, entre otros. Se estudian nociones tales como retractos de deformación, tipo de homotopía, se prueba que el grupo fundamental es también un invariante del tipo de homotopía, y se calculan el grupo fundamental de la esfera n-dimensional, y los grupos fundamentales de algunas superficies compactas sencillas. Estos últimos grupos fundamentales permitirán distinguir entre los tipos topológicos de estas superficies, resolviéndose así, en algunos casos particulares relativamente sencillos pero muy importantes, el problema que exponíamos en el párrafo anterior del estudio de si dos espacios topológicos diferentes son o no homeomorfos.
Utilizando el grupo fundamental se estudian importantes teoremas clásicos de la topología del Plano Euclídeo tales como el Teorema de Separación de Jordan, el Teorema de Separación General, el Lema de Borsuk, y el Teorema de Invariancia del Dominio. Estos resultados serían muy difíciles de demostrar si no dispusiéramos de un instrumento algebraico potente como es el grupo fundamental. En esta línea, se podría estudiar también el Teorema de la Curva de Jordan y algunas de sus aplicaciones, pero nuevamente por un problema de limitación del número de créditos de la asignatura, este estudio quedará como opción para aquellos estudiantes que sientan una gran curiosidad por estos temas y, además, dispongan de tiempo adicional que dedicarles.
Existe algún material sobre Teoría de Grupos que se refiere a Sumas Directas de Grupos Abelianos, Productos Libres de Grupos, Grupos Libres, y Generadores y Relaciones, que estará a disposición de aquellos estudiantes que no los conozcan, pero que no se considerará propiamente como material de esta asignatura, ya que su lugar natural sería en alguna asignatura de Álgebra (de hecho, actualmente, el equipo docente de esta asignatura entiende que algunos de los tópicos sobre Teoría de Grupos arriba enunciados se recogen efectivamente en alguna de las asignaturas de la materia de Álgebra de este Grado en Matemáticas, pero que tal vez otros no). Este material arriba enunciado sobre Teoría de Grupos se considera, por consiguiente, únicamente como material de lectura para los estudiantes que no lo hayan visto anteriormente, en la medida en que permite comprender las secciones posteriores que tratan del Teorema de Seifert y de Van Kampen, y algunas de sus aplicaciones al cálculo de grupos fundamentales de espacios concretos de dimensiones 1 y 2. El Teorema de Seifert-Van Kampen es un resultado que nos permite calcular grupos fundamentales de muchos espacios topológicos que sería prácticamente imposible calcular sin disponer de dicho teorema. Se trata de un teorema de la Topología Algebraica que relaciona el grupo fundamental de un espacio con los grupos fundamentales de dos abiertos que, conjuntamente, recubren dicho espacio, y con el grupo fundamental de la intersección de dichos abiertos, bajo ciertas condiciones. Existe una versión más general de este teorema para un recubrimiento del espacio ambiente por una cantidad arbitraria de conjuntos abiertos en lugar de tener únicamente dos conjuntos abiertos (junto con su intersección, naturalmente). Las aplicaciones más usuales del Teorema de Seifert-Van Kampen son el cálculo del grupo fundamental de una unión por un punto de circunferencias y el cálculo del grupo fundamental de espacios obtenidos adjuntando una celda bidimensional a un espacio de Hausdorff, normalmente de dimensión 1. Como veremos, esto conducirá a la posibilidad de estudiar el grupo fundamental de todos los tipos topológicos de superficies compactas, pero de momento se utilizará para calcular nuevamente el grupo fundamental del toro y de algunos espacios tales como los conocidos por el curioso nombre de “sombrero de asno de n picos”.
Se utilizan los métodos hasta ahora aprendidos para estudiar los grupos fundamentales de todas las superficies compactas, el grupo de homología 1-dimensional de dichas superficies compactas, y, utilizando las técnicas conocidas como “cortar y pegar”, se enuncia y prueba el Teorema de Clasificación de Superficies Compactas (y Conexas, naturalmente). Este es un resultado muy importante en Topología, que está íntimamente relacionado también con el estudio del grupo fundamental, por lo que nos parece óptimo estudiarlo aquí con una gran profundidad. La importancia del estudio en profundidad de las superficies compactas no sólo radica en que éstas son utilizadas muy frecuentemente como ejemplos de espacios en la Topología Algebraica, sino que, además, se debe a que los únicos teoremas de clasificación de variedades n-dimensionales compactas y conexas cuyas demostraciones son relativamente elementales y que son completos en el sentido de que permiten clasificar todas las variedades compactas y conexas de dimensión n utilizando solamente unos pocos y sencillos invariantes se conocen para n = 1 y para n = 2. A partir de la dimensión n = 3 se complican extraordinariamente las cosas. Por estos motivos es tan importante, en un primer curso sobre Topología Algebraica, llevar a cabo un estudio en profundidad del Teorema de Clasificación de Superficies Compactas y Conexas.
Otros instrumentos de naturaleza algebraica utilizados para estudiar el problema de la clasificación topológica de espacios topológicos son los grupos de homología. Estos grupos de homología se pueden calcular mediante un sencillo algoritmo algebraico cuando se trata de grupos de homología de ciertos espacios que tienen una cierta estructura geométrica, como serían los complejos simpliciales, los complejos celulares, o bien unos espacios llamados CW-complejos. Por el mencionado “problema” de la limitación del número de créditos que tiene asignados esta asignatura, en ella nos limitaremos al estudio de los grupos de homología de un complejo simplicial orientado, y, en consecuencia, de los grupos de homología de los poliedros compactos. Se darán, no obstante, indicaciones para que todo estudiante interesado en profundizar en el tema de los grupos de homología y de cohomología pueda continuar sus lecturas y sus estudios en otros textos de nivel superior al de las obras aquí utilizadas. Estos grupos de homología tienen la importante propiedad de que si dos espacios, en nuestro caso, dos poliedros compactos son homeomorfos, entonces sus grupos de homología q-dimensionales son grupos isomorfos para todo número entero no negativo q. De manera que pueden ser utilizados en muchos casos para distinguir tipos topológicos distintos de espacios que admitan una estructura geométrica de poliedros compactos. Esto hace referencia al problema fundamental de la Topología que enunciábamos al comienzo de esta exposición: el problema de estudiar si dos espacios topológicos dados son o no son homeomorfos. Por otra parte, si dos poliedros compactos son del mismo tipo de homotopía, que es una noción que ha sido introducida en esta asignatura también, entonces sus grupos de homología en cada dimensión q son asimismo isomorfos, es decir, que los grupos de homología de los poliedros compactos son no solamente invariantes topológicos, sino también invariantes homotópicos o invariantes del tipo de homotopía. Recordemos aquí que el grupo fundamental es también un invariante del tipo de homotopía. En general, podemos definir la Topología Algebraica precisamente como el estudio de todos aquellos métodos y estructuras algebraicas asociadas a espacios topológicos, que son invariantes del tipo de homotopía de dichos espacios topológicos. Cuantas más estructuras diferentes de este tipo, más nos iremos aproximando a la resolución del problema fundamental de la clasificación topológica de los espacios topológicos. En esta asignatura de Ampliación de Topología, en resumen, se estudian dos importantes invariantes topológicos, que son el grupo fundamental y los grupos de homología simplicial, y se estudian sus aplicaciones, generalmente encaminadas a avanzar significativamente en la resolución del problema de clasificación de espacios topológicos.
La presente asignatura pertenece a la materia de Geometría y Topología. Está situada en el cuarto curso del grado y dentro de éste en el segundo semestre. Se trata de una asignatura optativa. La asignatura es de 5 créditos ECTS, lo que supone 125 horas de trabajo / estudio por parte del estudiante.
