Métodos Matemáticos IV es una asignatura de carácter básico de la rama de Ciencias que se imparte durante el primer semestre del tercer curso del grado en Físicas. Tiene asociados 6 créditos ECTS (de 25 horas cada uno) y no tiene prácticas de laboratorio. En esta asignatura se combinan y generalizan diversos conceptos estudiados en álgebra con herramientas de cálculo infinitesimal estudiadas en análisis matemático. Todo ello se aplica al estudio de curvas y superficies, y cálculo con campos tensoriales (en particular escalares y vectoriales) en coordenadas generalizadas.

Los conceptos introducidos en esta asignatura forman parte del lenguaje básico de multitud de ramas de la física, en particular de las relacionadas con mecánica (p. ej. mecánica de fluidos), electromagnetismo, o relatividad. Por tanto, los conocimientos matemáticos adquiridos en esta asignatura serán de gran utilidad en diversas asignaturas del grado. Aunque el temario de esta asignatura versa sobre conceptos matemáticos abstractos, en el curso se hará especial énfasis en las aplicaciones y relevancia de estos conceptos en física, conectando de esta forma los conocimientos adquiridos en esta asignatura con los requerimientos de cálculo necesarios para otras asignaturas del grado.

El contenido de esta asignatura es Cálculo Tensorial y Geometría Diferencial.

La primera parte de esta asignatura es algo más abstracta y posiblemente requiera mayor esfuerzo. En esta parte combinaremos conceptos sobre espacios vectoriales y aplicaciones lineales con conceptos de cálculo infinitesimal. El estudio de los tensores aparece de forma natural cuando se consideran cambios de base en espacios vectoriales. En este sentido estudiaremos cómo se transforman los objetos tensoriales definidos sobre un espacio vectorial bajo un cambio de base de dicho espacio, en función del rango tensorial del objeto de que se trate. En particular, veremos el caso de los tensores de orden 0 (es decir, escalares), que son invariantes bajo cambios de base; el de los tensores de orden 1 (vectores), y el de los tensores de orden 2 (aplicaciones lineales). A continuación consideraremos el caso de tensores definidos como función del punto en el espacio vectorial (por ejemplo el potencial eléctrico, que es un campo escalar, o el de un campo de velocidades en un fluido, que es un campo vectorial), y veremos cómo se transforman estos campos bajo un cambio de base definido como función del punto. Esto nos permitirá aplicar las herramientas habituales del cálculo vectorial (gradiente, divergencia, rotacional, laplaciano) al caso de campos definidos sobre supericies diferenciables.

La relevancia en física del Cálculo Tensorial es enorme. En general todas las magnitudes físicas que se manejan a diario son objetos matemáticos con rango tensorial bien definido, es decir, son tensores. Por ejemplo ya hemos mencionado que los escalares son tensores de orden 0 (temperatura, masa, densidad), los vectores son tensores de orden 1 (velocidad, aceleración, fuerza) y las aplicaciones lineales son tensores de orden 2 (tensor de deformación en mecánica del continuo, tensor de velocidad de deformación en mecánica de fluidos, tensor de tensiones). El Cálculo Tensorial resulta indispensable siempre que trabajemos con este tipo de objetos y vayamos a aplicar cambios de base, lo cual es muy frecuente en física. Esto es lo que sucede por ejemplo cuando tenemos que resolver problemas en dominios espaciales con una forma geométrica que obliga (o al menos aconseja) el uso de coordenadas diferentes de las cartesianas (son archiconocidos los casos de simetría cilíndrica o esférica, pero hay innumerables ejemplos aparte de estos). El Cálculo Tensorial es indispensable para el estudio de la Teoría General de la Relatividad, pero también encuentra aplicaciones en otras ramas de la física, como la Mecánica de Fluidos, el Electromagnetismo o la Termodinámica, tal y como iremos mostrando a su debido tiempo.

Posiblemente la segunda parte de la asignatura necesite poca presentación. En Geometría Diferencial vamos a estudiar principalmente las propiedades de curvas y superficies, las distintas formas que existen para definirlas (paramétrica, implícita) y sus principales propiedades (p. ej. su curvatura). El interés de esto en física es evidente, dado que las curvas y superficies son ingredientes habituales en la descripción matemática de multitud de sistemas físicos. Por ejemplo, desde los cursos más básicos de física se emplea el concepto de curva para describir las trayectorias de objetos móviles, o las líneas de campo para la descripción de campos vectoriales. En cuanto a las aplicaciones del estudio de superficies podemos considerar, p. ej., su uso para la descripción de campos escalares (como el potencial eléctrico), por medio del estudio de las superficies equipotenciales.

Uno de los conceptos más básicos en relación a la geometría de curvas es el de su longitud, que corresponde a la distancia recorrida si suponemos que la curva en cuestión es la trayectoria de un móvil. También veremos p. ej. cómo pueden calcularse la curvatura y torsión de una curva. En el caso de las superficies aparecen otras magnitudes interesantes que veremos en esta asignatura. Por ejemplo, estudiaremos cómo se calcula la longitud de una curva definida sobre una superficie determinada; cómo se describe la curvatura de una superficie, cómo se calcula su área, o cómo se calcula el ángulo formado por dos curvas que se cruzan en un punto determinado, o cuál es la curva más corta contenida en una superficie que une dos puntos dados de dicha superficie. Todo ello con diversas aplicaciones en física. Por último veremos las herramientas necesarias para la descripción y el cálculo con campos (p. ej. escalares o vectoriales) definidos sobre superficies, para lo cual haremos uso del Cálculo Tensorial estudiado en la primera parte.