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TOPOLOGÍA

Curso 2019/2020/Subject's code21152415

TOPOLOGÍA

NAME SUBJECT TOPOLOGÍA
CODE 21152415
SESSION 2019/2020
DEGREE IN WHICH IT IS OFFERED MÁSTER UNIVERSITARIO EN MATEMÁTICAS AVANZADAS
TYPE CONTENIDOS
ECTS 7,5
HOURS 187.5
PERIOD SEMESTRE  1
OFFER LANGUAGES CASTELLANO

PRESENTACIÓN Y CONTEXTUALIZACIÓN

La asignatura que nos ocupa se dedicará fundamentalmente al estudio de la Topología Algebraica. Ésta es una de las principales ramas de la Topología que hace uso del formalismo algebraico para trabajar en problemas relacionados con espacios topológicos y aplicaciones continuas.

Uno de los problemas fundamentales de la Topología es el estudio y la clasificación de los espacios topológicos y de las aplicaciones continuas entre ellos. Existen diferentes métodos para llevar a cabo esta clasificación. Entre ellos destaca el método del establecimiento de invariantes topológicos que permitan distinguir entre espacios de diferentes clases topológicas. Estos invariantes pueden ser de naturalezas diferentes. 

En este curso de Topología, se estudian algunos invariantes topológicos de naturaleza algebraica, tales como el grupo fundamental de homotopía y los grupos de homología.

Esto exige un cierto conocimiento de la Teoría de Grupos, y, especialmente, de la Teoría de Grupos Abelianos o Conmutativos y algunas nociones básicas de la Teoría de Módulos.

Se asocian  estructuras algebraicas a los espacios y aplicaciones continuas que cumplen las propiedades funtoriales. Estas propiedades garantizan que cada estructura algebraica asociada sea una construcción invariante por homeomorfismos. Si pensamos, por ejemplo, en el grupo fundamental, esto significa que si dos espacios topológicos son homeomorfos entonces sus grupos de homotopía asociados son grupos isomorfos.

En el caso de los grupos de homología, podemos hacer algunas consideraciones semejantes, por lo que estos grupos de homología nos permitirán distinguir en algunos casos entre espacios pertenecientes a diferentes clases topológicas.

Dos nociones fundamentales en Topología Algebraica son las nociones de homotopía de aplicaciones continuas y de tipo de homotopía de espacios topológicos, nociones que están fuertemente relacionadas entre sí, y que se basan en la idea de deformación con continuidad. Las construcciones de las estructuras algebraicas asociadas a los espacios, que se definen en Topología Algebraica, tienen la propiedad de ser invariantes, no solamente del tipo topológico, sino también del tipo de homotopía de los espacios topológicos. Se estudia, en consecuencia, la invariancia homotópica del grupo fundamental y también la invariancia homotópica de los grupos de homología y cohomología.

Esta asignatura tiene además una vertiente práctica por medio de la construcción de algunos tipos de espacios  que aparecen frecuentemente en matemáticas y que aportan excelentes ejemplos de aplicación de la teoría aquí desarrollada, además de proporcionar al alumno la oportunidad de desarrollar su capacidad de razonamiento espacial.  

La Topología es una rama de las Matemáticas que se ha desarrollado enormemente en los últimos años y juega un papel importante en otras ramas de esta ciencia. La Topología se ocupa del estudio de los espacios topológicos y de las aplicaciones continuas entre ellos.

En el planteamiento didáctico de esta asignatura, gracias al texto empleado, se hace hincapié en un enfoque práctico, fijándonos en algunas construcciones de espacios topológicos, lo cuál servirá de estímulo para la iniciativa del estudiante y al mismo tiempo ayudará a entender mejor la línea que sigue la teoría. Esto además pretende ilustrar el lenguaje empleado hasta ahora en esta rama de la Topología Algebraica con numerosos ejemplos. 
Después de unos preliminares sobre los conceptos como homotopía y tipo de homotopía, la teoría algebraica comienza por el estudio del grupo fundamental. En este contexto se trata el teorema de Van Kampen para el cáculo del grupo fundmental de ciertos espacios a partir de otros espacios más conocidos.

Un concepto fundamental y muy relacionado con el grupo fundamental es el de espacio recubridor. El espacio recubridor es un recurso purmente topológico y muy importante en el estudio de la topología y su relación con la geometría, y es una herramienta muy utilizada en estudios más avanzados en topología. 

Se construye el espacio recubridor de la circunferencia con todo detalle y se ilustra este concepto con ejemplos de espacios recubridores de grafos. La clasificación de los espacios recubridores de un espacio dado se hace de acuerdo a las clases de cohjugación de subgrupos del grupo fundamental del espacio base.

El segundo gran tema de este curso es la Teoría de Homología. Se estudian los grupos de homología simplicial, que ya han formado parte del temario de la asignatura Introducción a la Topología Algebraica y que servirán de introducción a la Homología Singular. La homología singular es el tema que abarca la mayor parte del curso,  en este tema se estudia la relación entre homotopía y homología, la sucesión exacta de homología, y la sucesión de Mayer-Vietoris. Esto constituye el núcleo clásico de cualquier teoría de homología, podría considerarse la contrapartida en la teoría de homología del Teorema de Van Kampen.

Se tratará el problema del cálculo de coeficientes arbitrarios a partir del estudio realizado con coeficientes enteros. Se estudia la relación del primer grupo de homología de un complejo con el grupo fundamental. En la parte final del curso se estudia el Teorema del Punto Fijo de Lefschetz, que es una generalización del Teorema del Punto Fijo de Brower. Este teorema guarda relación con la fórmula de la Característica de Euler. Este invariante se ha estudiado cuando se definió el complejo de celdas y posteriormente en función de los grupos de homología.

La Topología Algebraica es un instrumento muy potente para la investigación de los espacios topológicos, especialmente las variedades, los CW-complejos, los complejos celulares, los complejos simpliciales, etc, además de ser un lenguaje de necesario manejo para la lectura de material de investigación en el campo de la Geometría y la Topología.

 

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