-Comprender y manejar el concepto de n - variedad.
-Conocer ejemplos de n - variedades, especialmente en el caso n = 2 (superficies).
-Comprender el concepto de orientabilidad.
-Conocer ejemplos de variedades orientables y de variedades no orientables.
-Estudiar con detalle el toro y el plano proyectivo.
-Conocer y manejar la noción de suma conexa de dos superficies.
-Conocer algunos ejemplos de sumas conexas de superficies sencillas.
-Conocer las propiedades de la suma conexa de superficies.
-Comprender el enunciado del teorema de clasificación de superficies compactas.
-Conocer lo que se entiende por forma canónica de una suma conexa de toros o de planos proyectivos.
-Conocer y manejar la noción de triangulación de una superficie compacta.
-Conocer la existencia de un resultado que asegura que cada superficie compacta admite una triangulación.
-Conocer las propiedades de las triangulaciones de superficies compactas.
-Comprender la demostración del teorema de clasificación de superficies compactas; esta demostración se articula en cinco conocidos pasos o etapas.
-Conocer una nueva formulación del teorema de clasificación de superficies compactas.
-Aplicar este teorema a diversos casos particulares.
-Conocer la noción de característica de Euler de una superficie triangulable.
-Conocer la invariancia de la característica de Euler respecto de la triangulación elegida de la superficie.
-Conocer la relación entre las características de Euler de dos superficies y de su suma conexa.
-Conocer los valores de la característica de Euler de las diferentes superficies compactas.
-Conocer el resultado que caracteriza la homeomorfía de dos superficies compactas en función de sus características de Euler y de su orientabilidad o no orientabilidad.
-Conocer la noción de género de una superficie compacta y su relación con la característica de Euler.
-Conocer los conceptos de camino en un espacio topológico, de espacio conexo por caminos, de componentes conexas por caminos de un espacio, y de espacios localmente conexos por caminos.
-Conocer la noción de caminos equivalentes en un espacio.
-Conocer la noción de producto de dos caminos en un espacio.
-Conocer la noción de clase de equivalencia de caminos.
-Conocer la noción de multiplicación de clases de equivalencia de caminos y sus propiedades.
-Conocer la noción de camino cerrado o lazo en un espacio.
-Conocer la noción de grupo fundamental o grupo de Poincaré de un espacio X en un punto base x.
-Conocer y manejar el resultado que asegura que si un espacio es conexo por caminos, entonces sus grupos fundamentales en dos puntos base cualesquiera son isomorfos.
-Conocer la noción de homomorfismo inducido por una aplicación continua entre los grupos fundamentales de los espacios involucrados. Conocer sus propiedades.
-Conocer y manejar la noción de aplicaciones continuas homotópicas y nociones relacionadas, tales como la noción de clases de homotopía de aplicaciones.
-Conocer el resultado que asegura que los homomorfismos inducidos por dos aplicaciones continuas homotópicas relativamente al punto base coinciden.
-Conocer las nociones de retracción y de retracto, y sus propiedades.
-Conocer la noción de retracto de deformación, y sus propiedades.
-Conocer la noción de espacio contráctil o contractible, y ejemplos.
-Conocer la noción de espacio simplemente conexo, y ejemplos.
-Conocer el resultado que asegura que el grupo fundamental de la circunferencia unidad del plano euclídeo es un grupo cíclico infinito y que la clase del camino cerrado que recorre la circunferencia exactamente una vez es un generador de dicho grupo. Comprender la demostración de este resultado.
-Comprender el enunciado y la demsotración del teorema del punto fijo de Brouwer en dimensión 2.
-Estudiar el grupo fundamental de producto topológico de espacios.
-Estudiar los espacios denominados "discos cerrados" y "discos abiertos", y algunas de sus propiedades elementales.
-Estudiar el resultado que establece la equivalencia entre la extendibilidad a un disco cerrado de una aplicación continua definida en su frontera y la equivalencia al lazo constante en el punto base de un determinado lazo definido a partir de dicha aplicación continua.
-Estudiar el resultado que garantiza la conmutatividad de un cierto diagrama de homomorfismos construido a partir de dos aplicaciones continuas homotópicas.
-Conocer la noción de espacios del mismo tipo de homotopía y de equivalencia homotópica.
-Estudiar el resultado que asegura que cada equivalencia homotópica induce isomorfismos entre los grupos fundamentales de los espacios involucrados.
-Conocer los enunciados y demostraciones de las diferentes formulaciones del teorema de Seifert y Van Kampen. Conocer y manejar las primeras aplicaciones de dicho teorema.
-Aplicar el teorema de Seifert y Van Kampen para obtener los grupos fundamentales de ciertos espacios tales como la unión de n circunferencias con un único punto en común y los espacios obtenidos al suprimir n puntos de un disco abierto o cerrado o del plano euclídeo.
-Aplicar el teorema de Seifert y Van Kampen para determinar los grupos fundamentales de las diferentes superficies compactas y conexas (toro, plano proyectivo, suma conexa de n toros y suma conexa de n planos proyectivos), así como los grupos fundamentales abelianizados.
-Conocer y manejar la noción de espacio recubridor y nociones elementales relacionadas, y ejemplos.
-Conocer la noción de homeomorfismo local, y su relación con los espacios recubridores.
-Conocer las propiedades inmediatas de los espacios recubridores. Conocer los problemas más importantes de la teoría de espacios recubridores.
-Conocer los resultados sobre elevación de caminos y de homotopías a un espacio recubridor.
-Conocer la naturaleza del homomorfismo inducido por una proyección recubridora.
-Conocer el resultado sobre elevación de una aplicación continua a un espacio recubridor.
-Conocer las nociones de homomorfismo, isomorfismo y automorfismo para espacios recubridores, así como sus propiedades y condiciones para su existencia.
-Estudiar la acción del grupo fundamental de (X, x), sobre la fibra p¯¹ ( x ) y sus consecuencias.
-Conocer la noción de espacio recubridor regular y sus propiedades.
-Caracterizar la regularidad de un espacio recubridor mediante la actuación de un grupo de automorfismos sobre la fibra.
-Conocer las condiciones bajo las que la proyección natural de un espacio sobre su espacio cociente respecto de la acción de un grupo propiamente discontinuo de homeomorfismos es una proyección recubridora. Ejemplos.
-Conocer el teorema de Borsuk - Ulam para la 2 - esfera en el espacio euclídeo tridimensional, como aplicación de los espacios recubridores, y sus consecuencias.
-Comprender el enunciado y la demostración del teorema de existencia de espacios recubridores.
-Conocer la noción de grafo, ejemplos y propiedades elementales.
-Conocer la propiedad de que todo grafo es localmente contráctil.
-Conocer la noción de árbol, sus propiedades, y, en particular, la de que todo árbol es contráctil.
-Estudiar los árboles maximales de un grafo y sus propiedades.
-Determinar el grupo fundamental de un grafo conexo como grupo libre, identificando un sistema de generadores de dicho grupo libre.
-Conocer la noción de característica de Euler de un grafo finito y estudiar sus propiedades.
--Conocer el enunciado y demostración del resultado que establece que todo espacio recubridor de un grafo conexo es un grafo.
-Establecer los resultados de teoría de grupos que se derivan del resultado anterior, y en particular, que todo subgrupo de un grupo libre es un grupo libre.
-Leer y comprender los resultados que no se conozcan acerca del espacio afín y de las coordenadas baricéntricas necesarios para entender las nociones y resultados sobre Símplices y Complejos Simpliciales Geométricos que se estudian después en esta asignatura de Ampliación de Topología.
-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Símplices Rectilíneos.
-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Complejos Simpliciales Geométricos Finitos y Aplicaciones Simpliciales entre ellos.
-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Poliedros Geométricos.
-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Complejos Simpliciales Geométricos Orientados.
-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Grupos de Cadenas Orientadas.
-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con el Homomorfismo Borde.
-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Grupos de Homología de un Complejo Simplicial Geométrico Orientado.
-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con las Componentes Conexas de un Complejo, y con los Complejos Conexos.
-Conocer y manejar la relación existente entre la Conexión de un Complejo y su Grupo de Homología de dimensión cero.
-Conocer y manejar la Fórmula de Euler-Poincaré para Complejos Simpliciales.
-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Homomorfismos de los Grupos de Homología inducidos por una Aplicación Simplicial.
-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con la Subdivisión Baricéntrica de un Complejo Simplicial.
-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Homomorfismos inducidos por las Aplicaciones Continuas entre Poliedros Geométricos.
-Conocer y manejar las nociones y resultados relacionados con los Poliedros Curvilíneos Compactos.
-Conocer y manejar las nociones y resultados relativos a la Invariancia por Homeomorfismos de los Grupos de Homología de Poliedros (Compactos) así como a la Invariancia Homotópica de dichos Grupos de Homología.
