El estudio de las funciones reales de varias variables se empieza en el curso Funciones de varias variables I, y en nuestro curso se continúa y profundiza en ello, tanto en la diferenciación como en la integración de estas funciones. Los temas principales que se tratarán son:
Teoremas de la función inversa y de la función implícita: Uno de los problemas fundamentales es sabe cuando la inversa de un función invertible es derivable y, en caso afirmativo, conocer esta derivada. En general, se estudia el mismo problema para funciones definidas de manera implícita.
Extremos relativos y extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange: En general, las funciones continuas en conjuntos compactos siempre tienen extremos. Sin embargo, saber quienes son, no es en general sencillo. El estudio de las diferenciales, o el método de los multiplicadores de Lagrange nos ayudara a conocerlos.
Construcción de la integral de Riemann para funciones de Rn en R. Se trata de construir la integral de una función de varias variables con ideas similares a cómo se hace para la integral de funciones de una variable.
Teorema de Fubini: las integrales de funciones de varias variables se definen de manera interada; por tanto, en principio la integral (doble) de una función f(x,y), si primero se integra en x y luego en y, o si se hace al revés, podría ocurrir que los valores conseguidos son distintos. El teorema de Fubini nos dice cuando estos valores son iguales. De esta manera, una integral doble que en un orden no se conoce, haciéndolo en otro es posible que si que se sepa solucionar.
Teorema del Cambio de variable: Se trata de la generalización del cambio de variable para integrales de funciones de una variable. Es posiblemente el resultado más útil para calcular integrales
Cálculo de áreas y volúmenes: Al igual que las integrales de una función positlva de una variable se interpretan como el área por debajo de la gráfica de la función, las integrales dobles y triples tienen también una interpretación geométrica.
Además de saber calcular (extremos, integrales) también se pide conocer y entender bien el porqué de las cosas.
