En esta asignatura, que está dentro de la especialidad de Geometría y Topología, se toma contacto con uno de los aspectos más importantes de la matemática actual: la teoría de superficies de Riemann. De los distintos enfoques desde los que se puede introducir el concepto de superficie de Riemann, en este curso se ha elegido una doble perspectiva: el de superficie topológica dotada de un atlas analítico, y el de cociente del plano hiperbólico bajo la acción de un grupo discreto. Esta dos perspectivas son, actualmente, objeto de investigación de muchos matemáticos, y por ello esta asignatura contribuirá al perfil investigador del alumno.

La teoría de superficies de Riemann ha acaparado las energías de algunos de los mejores matemáticos de todos los tiempos: Riemann, Jacobi, Abel, Weierstrass, Cauchy, etc. Desde sus orígenes ocupa una posición indiscutiblemente central en las Matemáticas, relacionando análisis, geometría hiperbólica, teoría de números, geometría algebraica, teoría de grupos, topología, etc. Es por ello que esta asignatura tiene relaciones con otras de su misma especialidad, como Topología o Geometría Diferencial, e incluso con el Análisis Complejo de la especialidad de Análisis Matemático.

Dentro de este amplísimo campo, se han elegido algunos temas para que el alumno encuentre algún punto de interés, que puedan llevarle a sus primeras singladuras como investigador.