- Concepto de grupo, conocimientos generales sobre grupos discretos y grupos continuos, generadores y álgebras de Lie. Grupos de simetría, concepto de simetría aplicado a funciones y a ecuaciones diferenciales. Transformaciones infinitesimales, invariancia Lie.
- Introducción a la teoría general de representaciones de grupos, Representaciones unitarias, representaciones reducibles e irreducibles. Clases de conjugación, caracteres.
- Aplicación del concepto de invariancia Lie para el análisis de simetría de ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como en derivadas parciales. Aplicación de transformaciones infinitesimales sobre ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, generalización a ecuaciones de orden n, condición de invariancia Lie de soluciones.
- Aplicación del análisis de simetría de ecuaciones diferenciales para el cálculo del grupo de invariancia Lie de una ecución diferencial. Aplicación a EDOs y sistemas de EDOs de 1er y 2o orden, generalización a EDOs de orden n. Cálculo del grupo de invariancia Lie de EDPs de 1er y 2o orden, generalización a EDPs de orden n, aplicación del análisis de invariancia Lie para el cálculo de soluciones de EDPs (ecuación del calor, ecuación de Laplace, ecuación de Burgers).
Parte 2. Procesos Estocásticos
- Comprender y saber describir matemáticamente un proceso estocástico.
- Entender el origen del ruido en los procesos estocásticos, distinguiendo entre fluctuaciones internas y externas.
- Conocer los principales tipos de ruido y sus propiedades.
- Saber formular la ecuación maestra de un sistema con fluctuaciones internas, y obtener la aproximación de Fokker-Planck correspondiente.
- Saber describir procesos físicos con fluctuaciones externas (aditivas y multiplicativas) mediante ecuaciones diferenciales estocásticas.
- Entender las dos interpretaciones principales de una integral estocástica: Ito y Stratonovich.
- Saber formular la ecuación de Fokker-Planck correspondiente a una ecuación diferencial estocástica.
- Poder resolver ecuaciones diferenciales estocásticas sencillas analíticamente, y cualquier tipo numéricamente.
- Conocer los principales efectos que puede ocasionar la presencia de ruido en sistemas físicos.
