(Sección 3.3 del libro de texto).

Se trata de

• estudiar los extremos locales de una función real de varias variables con su diferencial y su Hessiana. 
• cuando un extremo local es un extremo global

(Sección 3.4 del libro de texto).

Es bien sabido que la imagen continua de un compacto es compacto, y por tanto toda función continua  real de varias variables  tiene máximos y mínimos cuando en cualquier compacto. La cuestión es saber cómo calcularlos. Cuando el compacto en cuesto se puede parametrizar razonablemente  y la función es lo suficientemente suave, entonces se puede usar el método de los. multiplicadores de Lagrange para calcularlos.

La demostración completa usa el Teorema de la función implícita, que se estudia a continuación.

(Sección 3.5 del libro de texto).

Supongamos que dada una ecuación F(x,y)=0, siendo x,y vectores, se conoce que para cada x existe un único y tal que (x,y) son solución de la ecuación. En este caso, tenemos definida una función que asigna a cada vector x el correspondiente y, y que llamaremos g. Resulta natural pensar que si F es una función muy regular (con diferenciales), entonces g también lo será. El teorema de la función implícita hace este estudio, en general, incluso si no se conoce explícitamente la función g (y que es casi siempre así). 

(Capítulo 4 del libro de texto)

Se empieza el estudio de las funciones de varias variables con valores vectoriales, es decir funciones f:R^m--->Rⁿ. Se introduce la longitud de un arco en Rⁿ, la divergencia y el rotacional.

(Capítulo 5 del libro de texto)

Estudiaremos la integración (de Riemann) de funciones reales de dos y tres variables, o integrales

dobles y triples. Al igual que la integral de una función positiva de una variable representa el área por debajo de gráfica de la función, la integral de una función positiva f:R²--->R representa el volumen debajo de la gráfica de f, y se puede definir rigurosamente como límite de sumas aproximantes. La integral triple se define de manera similar, aunque su interpretación geométrica es más difícil de imaginar (se trata de un "volumen 4-dimensional")

(Capítulo 6 del libro de texto)

Posiblemente el teorema más útil en la teoría de integración. Se basa en el principio de que la longitud, área o volumen de un segmento, rectángulo, paralelepípedo (respectivamente) son invariantes bajo traslaciones. De aquí se sigue directamente que la integral es invariante bajo cambio de coordenadas afines no-triviales, y  en general también bajo cambios suficientemente regulares (cuando la función se aproxime localmente por funciones lineales)

(Sección 6.4 del libro de texto)

Se estudian las integrales de funciones de varias variables sobre límites no necesariamente acotados. Son las denominadas integrales impropias, y son límites de integrales sobre dominios acotados.