Según la memoria de verificación del título, los resultados de aprendizaje de esta asignatura son:

• Conocer la teoría de integrales complejas y sus aplicaciones.
• Conocer las ideas esenciales de los Espacios de Hilbert.
• Entender las nociones de operadores diferenciales e integrales.
• Conocer los métodos del análisis de Fourier.
• Realizar integrales apoyándose en teoría de residuos.
• Distinguir las propiedades de las ecuaciones de evolución y las ecuaciones para problemas estacionarios.

A continuación se detallan estos resultados de aprendizaje en las diferentes partes de la asignatura:

Parte A: Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales: sistemas autónomos de orden 2.

El alumno habrá comprendido la terminología usada en la descripción cualitativa de los sistemas dinámicos de orden dos; en concreto, qué es un sistema atónomo, qué es el plano de las fases correspondiente, qué se entiende por trayectoria y puntos críticos del sistema y cómo se clasificán,etc.

El alumno habrá entendido cómo llevar a cabo, en primer término, el tratamiento cualitativo de los sistemas lineales autónomos de orden dos y cómo hacer el estudio de su mapa fásico, cómo obtener sus puntos críticos y cómo clasificarlos, cómo obtener sus  sus trayetorias, cómo determinar su estabilidad, etc. y su importancia como punto de referencia en el estudio cualitativo de los sistemas autónomos no lineales de orden dos.

El alumno habrá entendido cómo llevar a cabo el tratamiento cualitativo de estos últimos, sabrá cómo se hace el estudio de su mapa fásico, cómo se clasifican sus puntos críticos aislados, sus trayectorias, qué son sus ciclos límite y cuándo el sistema tiene soluciones periódicas. Qué es un sistema conservativo y en qué consiste el método de Lyapunov para el estudio de la estabilidad del sistema, etc.

Parte B: Integración en variable compleja y teoría de residuos.

Tras la introducción en el primer curso de las funciones holomorfas y las transformaciones más elementales, en este curso se profundiza en la estructura analítica de estas funciones y las consecuencias que esta tiene.

En primer lugar el estudiante aprenderá el uso de las integrales de camino en el caso complejo, y las consecuencias que el Teorema Fundamental del Cálculo tiene.

También estudiará el papel del desarrollo en serie de las funciones holomorfas, los dominios de convergencia de esas series, y la relación de las series de Taylor y de Laurent con la analiticidad y las singularidades que una función compleja puede presentar en un punto.

Por último lugar se estudiará la teoría de residuos, y sus aplicaciones en el cálculo de integrales de variable real.

Parte C: Espacios de Hilbert y operadores.

El análisis funcional es una herramienta importante en la investigación de multitud de problemas que aparecen tanto en la matemática pura y aplicada como en distintas ramas de la física y la ingeniería e incluso en la biología y en la economía.

El objetivo principal es un estudio introductorio de las propiedades fundamentales de determinados espacios abstractos, generalmente de dimensión infinita, y de las propiedades básicas de los operadores que actúan entre ellos.

Esta parte del curso comienza con un repaso de algunos de los conceptos de la asignatura de Álgebra, ampliándolos al caso de espacios vectoriales infinitodimensionales. A continuación, el alumno debe aprender el concepto de métrica y espacio métrico y conocer las propiedades básicas de la topología asociada al sistema de bolas abiertas definidas por la norma. También debe conocer el concepto de sucesión, y en especial el concepto de sucesión de Cauchy en un espacio métrico, y el de aplicación lineal entre espacios métricos. Finalmente aprenderá el concepto de continuidad y el de límite de una sucesión y el de espacio métrico completo

En segundo lugar, el alumno aprenderá el concepto de norma y espacio normado y cómo introducir en él una métrica mediante la norma de manera que el espacio normado es tambíén un espacio métrico con todas sus propiedades y saber que cuando es completo en la métrica introducida por la norma se llama espacio de Banach. El alumno aprenderá que los operadores y funcionales continuos en un espacio normado constituyen a su vez un espacio normado con la norma definifida para ellos y que en caso de los funcionales lineales continuos este espacio es de Banach y se llama espacio dual del espacio normado inicial.

En tercer lugar, el alumno aprenderá el concepto de producto escalar y de espacio lineal con producto escalar o espacio pre- Hilbert. Aprenderá también que el producto escalar es capaz de generar una norma que lo dota de la estructura de espacio normado con todas sus propiedades. Cuando en la métrica inducida por esta norma el espacio es completo se denomina de Hilbert. Otro concepto importante generado por el producto escalar es el de ortogonalidad que nos proporciona herramientas muy importantes para el estudio de los espacios de Hilbert, conjuntos ortogonales, bases ortonormales, etc.

En este contexto el alumno aprenderá dos herramientas fundamentales en las matemáticas y la física: las series trigonométricas de Fourier y los polinomios ortogonales.

El alumno también aprenderá a conocer las propiedades básicas de determinados operadores y funcionales lineales que actúan entre los espacios pre-Hilbert y de Hibert y aprenderá qué es es un operador continuo y operador acotado, un operador compacto y que en estos espacios operador continuo y acotado son conceptos equivalentes. Aprenderá el concepto y las propiedades más importantes del operador adjunto a uno dado y el de operador hermítico, unitario y operador normal, y aprenderá que el dual de un espacio de Hilbert coincide con él mismo entre otras cosas.

Por último, estudiará la estructura básica de la teoría espectral de algunos de los tipos de operadores arriba indicados, principalmente de tipo compacto y del tipo acotados. El alumno aprenderá qué es la resolvente de un operador y qué es su espectro y sus diferentes tipos: espectro puntual, espectro continuo y residual y cómo se caracteriza cada uno de ellos. Se estudiarán además los resultados de descomposición espectral de operadores autoadjuntos acotados.