Según la memoria de verificación del título, los resultados de aprendizaje de esta asignatura son:
Adquirir los conceptos generales acerca del cuerpo de los números complejos,
Entender las condiciones de analiticidad de Cauchy-Riemann,
Entender la formulación de problemas físicos en el campo complejo,
Conocer la teoría de integrales complejas y sus aplicaciones,
Realizar integrales apoyándose en teoría de residuos,
Conocer las ideas esenciales de los Espacios de Hilbert,
Entender las nociones de operadores diferenciales e integrales,
Conocer los métodos del análisis de Fourier.
A continuación se detallan estos resultados de aprendizaje en las diferentes partes de la asignatura:
Parte A: Variable Compleja
Tras la introducción en el primer curso a los números complejos y a su álgebra básica, en este curso se profundiza en el cálculo en variable compleja, las funciones holomorfas y las transformaciones elementales, la estructura analítica de estas funciones y las consecuencias que esta tiene.
En primer lugar el estudiante adquirirá un conocimiento amplio del álgebra de los números complejos, de sus fundamentos básicos, de sus propiedades y un manejo con soltura de las operaciones algebraicas a realizar con ellos. Adquirir un conocimiento amplio del concepto de función en el campo complejo y en particular, de su acepción como transformación. Captar perfectamente el concepto de función analítica (u holomorfa) en el campo complejo y ver las diferencias existentes con respecto al mismo concepto en el campo real. Entender de forma clara cuáles son las condiciones necesarias (es decir, las denominadas condiciones de Cauchy-Riemann) y suficientes que deben verificar las componentes real y compleja de una función compleja para que sea analítica. Captar el concepto de función elemental en el campo complejo y en particular verla como una prolongación analítica de la función correspondiente en el campo real y saber entender las peculiaridades que le son propias en el campo complejo. A continuación el estudiante aprenderá el uso de las integrales de camino en el caso complejo, y las consecuencias que el Teorema Fundamental del Cálculo tiene. También estudiará el papel del desarrollo en serie de las funciones holomorfas, los dominios de convergencia de esas series, y la relación de las series de Taylor y de Laurent con la analiticidad y las singularidades que una función compleja puede presentar en un punto. Finalmente se estudiará la teoría de residuos, y sus aplicaciones en el cálculo de integrales de variable real.
Parte B: Espacios de Hilbert y operadores.
El análisis funcional es una herramienta importante en la investigación de multitud de problemas que aparecen tanto en la matemática pura y aplicada como en distintas ramas de la física y la ingeniería e incluso en la biología y en la economía.
El objetivo principal es un estudio introductorio de las propiedades fundamentales de determinados espacios abstractos, generalmente de dimensión infinita, y de las propiedades básicas de los operadores que actúan entre ellos.
Esta parte del curso comienza con un repaso de algunos de los conceptos de la asignatura de Álgebra, ampliándolos al caso de espacios vectoriales infinitodimensionales. A continuación, el alumno debe aprender el concepto de métrica y espacio métrico y conocer las propiedades básicas de la topología asociada al sistema de bolas abiertas definidas por la norma. También debe conocer el concepto de sucesión, y en especial el concepto de sucesión de Cauchy en un espacio métrico, y el de aplicación lineal entre espacios métricos. Finalmente aprenderá el concepto de continuidad y el de límite de una sucesión y el de espacio métrico completo
En segundo lugar, el alumno aprenderá el concepto de norma y espacio normado y cómo introducir en él una métrica mediante la norma de manera que el espacio normado es tambíén un espacio métrico con todas sus propiedades y saber que cuando es completo en la métrica introducida por la norma se llama espacio de Banach. El alumno aprenderá que los operadores y funcionales continuos en un espacio normado constituyen a su vez un espacio normado con la norma definifida para ellos y que en caso de los funcionales lineales continuos este espacio es de Banach y se llama espacio dual del espacio normado inicial.
En tercer lugar, el alumno aprenderá el concepto de producto escalar y de espacio lineal con producto escalar o espacio pre- Hilbert. Aprenderá también que el producto escalar es capaz de generar una norma que lo dota de la estructura de espacio normado con todas sus propiedades. Cuando en la métrica inducida por esta norma el espacio es completo se denomina de Hilbert. Otro concepto importante generado por el producto escalar es el de ortogonalidad que nos proporciona herramientas muy importantes para el estudio de los espacios de Hilbert, conjuntos ortogonales, bases ortonormales, etc.
En este contexto el alumno aprenderá dos herramientas fundamentales en las matemáticas y la física: las series trigonométricas de Fourier y los polinomios ortogonales.
El alumno también aprenderá a conocer las propiedades básicas de determinados operadores y funcionales lineales que actúan entre los espacios pre-Hilbert y de Hibert y aprenderá qué es es un operador continuo y operador acotado, un operador compacto y que en estos espacios operador continuo y acotado son conceptos equivalentes. Aprenderá el concepto y las propiedades más importantes del operador adjunto a uno dado y el de operador hermítico, unitario y operador normal, y aprenderá que el dual de un espacio de Hilbert coincide con él mismo entre otras cosas.
Por último, estudiará la estructura básica de la teoría espectral de algunos de los tipos de operadores arriba indicados, principalmente de tipo compacto y del tipo acotados. El alumno aprenderá qué es la resolvente de un operador y qué es su espectro y sus diferentes tipos: espectro puntual, espectro continuo y residual y cómo se caracteriza cada uno de ellos. Se estudiarán además los resultados de descomposición espectral de operadores autoadjuntos acotados.
