Objetivo general. Adquisición de los conocimientos fundamentales, teóricos y prácticos, de Topología Algebraica con el fin de proporcionar al alumno una formación lo suficientemente sólida para una futura dedicación, ya sea de estudio o investigación.
Conocimientos:
Homotopía.
Equivalencia de homotopía.
Tipo de homotopía.
Grupo fundamental de homotopía.
Espacios contractibles y simplemente conexos.
Grupo fundamental de homotopía de algunos espacios notables.
Invariancia topológica del grupo fundamental de homotopía.
Teorema de Van Kampen.
Espacios recubridores.
Símplices geométricos.
Complejos simpliciales geométricos.
Grupos de homología de un complejo simplicial geométrico.
Característica de Euler-Poincaré de un complejo simplicial geométrico.
Poliedros.
Grupos de homología de poliedros.
Homología singular.
Homología relativa.
Números de Betti y característica de Euler.
Aplicaciones simpliciales.
Aproximación simplicial. Número de Lefschetz.
CW complejos.
Teorema de los coeficientes universales.
Destrezas:
Poder decidir si existe una homotopía entre dos caminos definidos en un espacio, y en caso de que dicha homotopía exista, construirla.
Saber distinguir si dos aplicaciones son homótopas o no, y si lo son, construir una homotopía entre ellas.
Saber construir equivalencias de homotopía.
Saber distinguir si dos espacios son del mismo tipo de homotopía o no.
Saber determinar el grupo fundamental de homotopía de algunos espacios.
Saber distinguir si un espacio es contractible o no lo es.
Entender los conceptos de espacio simplemente conexo y espacio contractible y saber construir ejemplos de espacios simplemente conexos que no son contractibles.
Utilizar la equivalencia entre el hecho de que dos espacios tengan el mismo tipo de homotopía y la existencia de un tercer espacio del cuál los dos iniciales sean retractos de deformación.
Saber construir el grupo fundamental de homotopía utilizando el teorema de Van Kampen.
Saber calcular el grupo fundamental de algunos espacios, vía la acción de grupos en espacios simplemente conexos.
Manejar en la práctica la invariancia topológica del grupo fundamental de homotopía.
Saber determinar la estructura de un grupo abeliano de tipo finito definido por una presentación.
Saber manejar complejos singulares en el plano y el espacio tridimensional.
Saber calcular los grupos de homología de un complejo singular.
Saber determinar las componentes conexas de un complejo singular y conocer su relación con el grupo de homología de dimensión cero del complejo.
Manejar la sucesión exacta de homología de un par.
Manejar el teorema de escisión en el caso de esferas, para poder deducir algunas propiedades topológicas de éstas.
Saber calcular los invariantes topológicos y, en particular, la característica de Euler-Poincaré de un complejo singular.
Manejar algunas aplicaciones de la sucesión de Mayer-Vietoris.
Ser capaz de distinguir algunos poliedros curvilíneos utilizando los grupos de homología y / o los invariantes topológicos.
Utilizar el teorema de Lefschetz para estudiar los puntos fijos de algunas aplicaciones entre espacios proyectivos.
Competencias ( o aptitudes ):
Ser capaz de desenvolverse en el lenguaje de la Topología Algebraica, y estar en condiciones para seguir un estudio posterior.
Saber plantear problemas en el contexto de la Homología y la Cohomología, para su estudio posterior.
Estar en condiciones de proseguir estudios más profundos en las diversas líneas de investigación de este área y de áreas relacionadas.
