Los contenidos de la asignatura, distribuídos por temas, así como las orientaciones para el estudio de cada uno de ellos están ampliamente desarrollados en la Guía Orientativa, documento en formato pdf disponible para el alumno en la virtualización de la asignatura. A continuación resumimos brevemente dichos contenidos.
Tema 1. Preliminares.
Función real de variable real.
Dominio, imagen y recorrido de una función.
Funciones inyectivas y suprayectivas.
Gráfica de una función.
Función compuesta.
Funciones exponencial y logarítmica.
Este breve tema es sobre todo de repaso, pues no es la primera vez que el alumno se encuentra con los conceptos que en él aparecen. El principal es el de función real de variable real.
Tema 2. Límites y continuidad
Límite de una función en un punto.
Cálculo analítico de límites.
Función continua en un punto.
Propiedades de las funciones continuas.
Los conceptos de límite de una función en un punto y de función continua en un punto están estrechamente relacionados. En este tema se explica dicha relación, así como distintas técnicas para el cálculo de límites. Se usarán dichas técnicas para detectar la continuidad o no de una función, y se verán las propiedades fundamentales de las funciones continuas.
Tema 3. La derivada
El problema de la recta tangente y la derivada de una función en un punto.
La derivada como ritmo de cambio instantáneo.
Reglas básicas de derivación.
Regla de la cadena.
El cálculo de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto es un proceso de cálculo de límites y nos lleva de forma natural al concepto de derivada de una función en un punto. La derivada mide, por tanto, el ritmo de cambio instantáneo de una variable con respecto a otra. En este tema se estudian estos problemas y se aprende a calcular derivadas de funciones reales de variable real.
Tema 4. Aplicaciones de la derivada
Extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado.
Extremos relativos de una función. Puntos críticos.
Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función.
Intervalos de concavidad hacia arriba o hacia abajo de una función.
Límites en el infinito.
Problemas de optimización.
El método de Newton.
Una vez que en el tema anterior hemos aprendido a derivar las funciones elementales, en este tema estudiamos varias aplicaciones. Entre éstas destacan el cálculo de máximos y mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad, límites en el infinito y optimización.
Tema 5. La integral
Reglas básicas de integración.
Integral definida y área de una región.
Integración por sustitución.
Integración por partes.
Integración de funciones racionales.
Integración numérica.
La integración puede verse como el proceso inverso al de derivación. En este tema aprendemos diversas técnicas para el cálculo de primitivas. También aprendemos la relación que tiene la integral con el cálculo del área encerrada por la gráfica de una función, lo cual da paso al concepto de integral definida, que aparecerá en el siguiente tema.
Tema 6. Aplicaciones de la integral
Área de una región entre dos o más curvas.
Volúmenes de sólidos de revolución: métodos de los discos y de los anillos.
Volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas.
En el tema anterior hemos visto una primera aplicación de la integral: el cálculo del área de una región delimitada por la gráfica de una función. En este tema profundizamos en esta aplicación, calculando el área de regiones planas más complicadas, y estudiamos otra: el cálculo de volúmenes de sólidos con sección transversal conocida.
Tema 7. Sucesiones y series
Sucesiones convergentes y sucesiones divergentes.
Cálculo de límites de sucesiones convergentes.
Series convergentes y series divergentes.
Series geométricas.
Cálculo de sumas de series geométricas.
El concepto matemático de sucesión (infinita) de números es muy similar al que tiene en el lenguaje común, pero no ocurre lo mismo con el de serie (infinita) de números. En este tema entenderemos estos conceptos desde el punto de vista matemático. Veremos qué significa que una sucesión o una serie sean convergentes o divergentes y aprenderemos a calcular límites de sucesiones convergentes y sumas de series convergentes. Prestaremos especial atención a las series geométricas.
