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ANÁLISIS ACTUAL DE PROBLEMAS DE MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS: MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS, MÉTODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO Y MÉTODOS SIN MALLA

Curso 2017/2018 / Cod.28801034

ANÁLISIS ACTUAL DE PROBLEMAS DE MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS: MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS, MÉTODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO Y MÉTODOS SIN MALLA

PRESENTACIÓN

La dificultad para encontrar soluciones cerradas a las ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento de los medios continuos y la aparición del ordenador, provocaron un espectacular desarrollo de los métodos de búsqueda de solución aproximadas entre los que hay que destacar el Método de los Elementos Finitos (MEF).

Como alternativa a este método (en este sentido también habría que referirse a otros como Diferencias Finitas o Volúmenes Finitos), se podría tratar de transformar las ecuaciones diferenciales en un conjunto de ecuaciones integrales como primer paso para su solución (antes de cualquier proceso de discretización o introducir cualquier aproximación). Este conjunto de ecuaciones incluirá los valores de las variables en los extremos del rango de integración, es decir en los contornos del dominio de integración, y la posterior discretización deberá realizarse únicamente en el contorno. Esta será una de las mayores ventajas de Método de los Elementos de Contorno frente a los mencionados anteriormente (que precisan discretizar el dominio) y, por tanto, se manejarán sistemas de ecuaciones más pequeños (aunque llenos) que en el caso del MEF.

Hay muchos problemas de mecánica (extrusión, fundición, propagación de grietas, etc) que no se resuelven sin grandes dificultades con los métodos numéricos más convencionales tales como elementos finitos, volúmenes finitos o diferencias finitas, y una de las razones está, en la característica de dichos métodos de dependencia de una malla o exigencia de regularidad en la disposición de nodos. La modificación en la geometría o en las discontinuidades, obliga a remallar en cada paso de la evolución del problema, de forma que al hacerlo, además, se respeten las irregularidades y características propias del proceso. Todo esto introduce numerosas dificultades, como es por ejemplo la relación entre mallados sucesivos, que afectan a la precisión, tiempo de ejecución, complejidad de los propios programas, etc. Por todo ello se comprende el enorme interés de los denominados Métodos sin Malla, de los que se abordarán el Método de Galerkin sin elementos y el de Diferencias Finitas Generalizadas.

Oñate et al. han dado una interesante definición para los métodos sin malla (meshless methods), como aquellos en los que la aproximación puede ser construida estrictamente en términos de nodos, ya que lo importante es que una malla de base no afecta al tratamiento de las discontinuidades, puesto que no precisa ser compatible con los nodos ni con el dominio al que se superpone, pudiéndose por tanto generar con suma facilidad.

Por otra parte, las funciones de aproximación, y concretamente aquellas que constituyen una partición de la unidad, tienen muchas propiedades comunes con las funciones de forma utilizadas en el método de los elementos finitos, pero tienen frente a ellas una ventaja muy interesante y es que pueden ser tan suaves como se desee (incluso C∞), lo que permite soluciones con derivadas continuas. Esto únicamente obligará a utilizar alguna técnica especial para definir el soporte de las funciones de ponderación en la proximidad de las discontinuidades.

Abierto plazo de preinscripción de MÁSTERES OFICIALES de la UNED