PROCESOS ESTOCÁSTICOS. INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS FINANCIEROS

Cod.2115228-

CONTENIDOS DE LA ASIGNATURA

La asignatura se divide en cuatro temas: el primero estudia algunos modelos en tiempo discreto y sus aplicaciones en finanzas; los otros tres bloques estudian modelos en tiempo continuo.

Tema 1

Contiene una introducción a los conceptos básicos de los modelos financieros: precios de activos, estrategias de inversión, opciones “call” y “put”, y su valoración, arbitraje, etc. El marco teórico para estudiar estos modelos, en este primer bloque, son procesos y martingalas en tiempo discreto. Se hace un estudio detallado del problema de parada óptima en tiempo discreto y su aplicación a las opciones americanas.

Indicaciones: El material básico para el estudio de este tema son los capítulos 1 y 2 del texto básico [1]  (véase la bibliografía de la asignatura). No obstante, un primer contacto con el tema de los modelos financieros estocásticos puede adquirirse en el documento [6], basado en el texto [5]. Así mismo, una sinopsis de los citados capítulos 1 y 2 de [1] aparece en el documento [7]. Una herramienta básica para el estudio de las martingalas y sus aplicaciones  financieras es la noción de esperanza condicionada. El texto básico [1] contiene un apéndice sobre esta cuestión y una exposición similar y alternativa es el documento [8].

Tema 2

En este tema se estudia el proceso estocástico continuo más relevante: el movimiento browniano. Se dan dos definiciones equivalentes del movimiento browniano: mediante sus distribuciones y la definición axiomática. Se estudiarán, entre otras propiedades, la continuidad y no derivabilidad de sus trayectorias, su variación cuadrática, y el principio de reflexión para determinar la distribución del máximo.

Indicaciones: El texto básico [1] se limita a una definición muy sucinta del movimiento browniano, que está en la base de la mayoría de los modelos estocástico financieros. Sin duda es necesario un conocimiento más detallado de este tema, que puede adquirirse mediante la referencia básica [2].

Tema 3

Este tema se dedica al cálculo estocástico. Se define la integral de Itô: la integral de un proceso estocástico respecto del movimiento browniano. Esta definición se hace primero para procesos llamados elementales, y luego es extendida a procesos más generales. Se establecen la isometría de Itô y las propiedades más relevantes de esta integral estocástica. Se estudian teoremas de existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas y la fórmula de Itô.

Indicaciones: El capítulo 3 del texto básico [1] contiene una introducción suficientemente detallada de los conceptos introducidos en este tema. Algunas de las demostraciones no incluidas en dicho texto pueden encontrarse en el texto de Øksendal [4] o en las referencias citadas en [1].

Tema 4

Por último, se aborda el estudio de modelos financieros en tiempo continuo. Se introduce el concepto de estrategia de inversión y, para el modelo del movimiento browniano geométrico, se estudia la valoración de una opción europea, deduciéndose la fórmula de Black-Scholes. Se estudian también algunos modelos de tipos de interés, de valoración del bono de cupón cero y de opciones sobre estos bonos.

Indicaciones: Los capítulos 4 y 6 del texto básico [1] constituyen el material para este tema. Algunas cuestiones complementarias se exponen en el documento [9]. Se puede consultar también el texto [3] de la bibliografía complementaria.