La Topología es una rama de las Matemáticas que se ha desarrollado enormemente en los últimos años y juega un papel importante en otras ramas de esta ciencia. La Topología se ocupa del estudio de los espacios topológicos y de las aplicaciones continuas entre ellos.
La asignatura que nos ocupa se dedicará a la Topología Algebraica, lo que permitirá el cálculo efectivo de invariantes de ciertos espacios topológicos. Se hará un enfoque práctico, fijándonos en algunas construcciones de espacios topológicos, lo cuál servirá de estímulo para la iniciativa del estudiante y al mismo tiempo ayudará a entender mejor la línea que sigue la teoría.
La teoría comienza por el estudio del primer grupo de homotopía, y el concepto de equivalencia de homotopía. Un concepto fundamental y muy relacionado con el de primer grupo de homotopía es el de espacio recubridor. El espacio recubridor es fundamental en el estudio de la topología y su relación con la geometría, y es una herramienta muy utilizada en estudios más avanzados en topología.
Posteriormente se estudian los grupos de homología simplicial, que ya han formado parte del temario de la asignatura Introducción a la Topología Algebraica y que servirán de introducción a la homología singular. La homología singular es el tema que abarca la mayor parte del curso, en este tema se estudia la relación entre homotopía y homología, la sucesión exacta de homología, y la sucesión de Mayer-Vietoris. Esto constituye el núcleo clásico de cualquier teoría de homología.
Finalmente se tratará la Cohomología que es una teoría dual de la Homología, pero que además de la estructura aditiva posee una multiplicativa, lo que la hace más potente.
Tanto en el caso de la Homología como de la Cohomología, se tratará el problema del cálculo de coeficientes arbitrarios a partir del estudio realizado con coeficientes enteros.
La dualidad de Poincaré pone de manifiesto la relación entre ambas teorías, de hecho este teorema fue enunciado antes de que existiese un desarrollo formal de éllas.
La Topología Algebraica es un instrumento muy potente para la investigación de los espacios topológicos, especialmente las variedades, los CW-complejos, los complejos celulares, los complejos simpliciales, etc, además de ser un lenguaje de necesario manejo para la lectura de material de investigación en el campo de la Geometría y la Topología.
